题目

用螺旋测微计测得某金属丝直径。螺旋测微计的零值误差为0.020(mm)（测量起点不为零），仪器误差为0.004(mm)。五次测量结果分别为0.603(mm)、0.606(mm)、0.602(mm)、0.604(mm)和0.607(mm)。请问：（第1空）金属丝直径的平均值是____(mm)（给出中间结果）；（第2空）金属丝直径的平均值是____(mm)（给出最终结果）；（第3空）金属丝直径的A类不确定度是____(mm)（给出中间结果）；（第4空）金属丝直径的B类不确定度是____(mm)；（第5空）金属丝直径的总不确定度是____(mm)（最终结果）；（第6-7空）金属丝直径的不确定度表示形式是(__pm__())(mm)；（第8空）金属丝直径的相对不确定度是____%

用螺旋测微计测得某金属丝直径。螺旋测微计的零值误差为$0.020\text{mm}$（测量起点不为零），仪器误差为$0.004\text{mm}$。五次测量结果分别为$0.603\text{mm}$、$0.606\text{mm}$、$0.602\text{mm}$、$0.604\text{mm}$和$0.607\text{mm}$。请问： （第1空）金属丝直径的平均值是____$\text{mm}$（给出中间结果）； （第2空）金属丝直径的平均值是____$\text{mm}$（给出最终结果）； （第3空）金属丝直径的A类不确定度是____$\text{mm}$（给出中间结果）； （第4空）金属丝直径的B类不确定度是____$\text{mm}$； （第5空）金属丝直径的总不确定度是____$\text{mm}$（最终结果）； （第6-7空）金属丝直径的不确定度表示形式是($\_\_\pm\_\_\text{)}\text{mm}$； （第8空）金属丝直径的相对不确定度是____%

题目解答

答案

1. 调整后测量值为：0.583、0.586、0.582、0.584、0.587 mm。 2. 平均值：$ \bar{d} = 0.5844 \, \text{mm} $（中间结果）。 3. A类不确定度：$ u_A = \frac{s}{\sqrt{5}} = \frac{0.002074}{2.236} \approx 0.00093 \, \text{mm} $。 4. B类不确定度：$ u_B = \frac{0.004}{\sqrt{3}} \approx 0.0023 \, \text{mm} $。 5. 总不确定度：$ u = \sqrt{(0.00093)^2 + (0.0023)^2} \approx 0.0025 \, \text{mm} $。 6-7. 最终结果：$ d = (0.584 \pm 0.003) \, \text{mm} $。 8. 相对不确定度：$ E_r = \frac{0.0025}{0.5844} \approx 0.4\% $。 答案： (1) 0.5844 mm (2) 0.584 mm (3) 0.00093 mm (4) 0.0023 mm (5) 0.0025 mm (6-7) (0.584 ± 0.003) mm (8) 0.4%

解析

本题主要考察螺旋测微计测量数据的处理，包括零值误差修正、平均值计算、A类不确定度、B类不确定度、总不确定度的计算，以及最终结果的表示和相对不确定度的计算。解题思路如下：

  1. 修正零值误差：由于螺旋测微计存在零值误差，需要对每次测量结果进行修正，得到调整后的测量值。
  2. 计算平均值：将调整后的测量值相加，再除以测量次数，得到金属丝直径的平均值。
  3. 计算A类不确定度：先计算测量值的标准偏差，再根据标准偏差和测量次数计算A类不确定度。
  4. 计算B类不确定度：已知仪器误差，根据仪器误差的分布情况计算B类不确定度。
  5. 计算总不确定度：根据A类不确定度和B类不确定度，利用合成不确定度公式计算总不确定度。
  6. 表示最终结果：将平均值和总不确定度按照不确定度表示形式写出。
  7. 计算相对不确定度：用总不确定度除以平均值，再乘以$100\%$，得到相对不确定度。

具体计算过程

  1. 修正零值误差：
    已知零值误差为$0.020\text{mm}$，五次测量结果分别为$0.603\text{mm}$、$0.606\text{mm}$、$0.602\text{mm}$、$0.604\text{mm}$和$0.607\text{mm}$。
    调整后测量值分别为：
    $0.603 - 0.020 = 0.583\text{mm}$
    $0.606 - 0.020 = 0.586\text{mm}$
    $0.602 - 0.020 = 0.582\text{mm}$
    $0.604 - 0.020 = 0.584\text{mm}$
    $0.607 - 0.020 = 0.587\text{mm}$
  2. 计算平均值：
    平均值$\bar{d}=\frac{0.583 + 0.586 + 0.582 + 0.584 + 0.587}{5}$
    $=\frac{2.922}{5}=0.5844\text{mm}$
  3. 计算A类不确定度：
    先计算测量值的标准偏差$s$，公式为$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(d_i - \bar{d})^2}{n - 1}}$，其中$d_i$为每次测量值，$\bar{d}$为平均值，$n$为测量次数。
    $(0.583 - 0.5844)^2 = (-0.0014)^2 = 0.00000196$
    $(0.586 - 0.5844)^2 = 0.0016^2 = 0.00000256$
    $(0.582 - 0.5844)^2 = (-0.0024)^2 = 0.00000576$
    $(0.584 - 0.5844)^2 = (-0.0004)^2 = 0.00000016$
    $(0.587 - 0.5844)^2 = 0.0026^2 = 0.00000676$
    $\sum_{i=1}^{5}(d_i - \bar{d})^2 = 0.00000196 + 0.00000256 + 0.00000576 + 0.00000016 + 0.00000676 = 0.0000172$
    $s = \sqrt{\frac{0.0000172}{5 - 1}} = \sqrt{0.0000043} \approx 0.002074\text{mm}$
    A类不确定度$u_A = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.002074}{\sqrt{5}} = \frac{0.002074}{2.236} \approx 0.00093\text{mm}$
  4. 计算B类不确定度：
    已知仪器误差为$0.004\text{mm}$，一般认为仪器误差服从均匀分布，B类不确定度$u_B = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$，其中$\Delta$为仪器误差。
    $u_B = \frac{0.004}{\sqrt{3}} \approx 0.0023\text{mm}$
  5. 计算总不确定度：
    总不确定度$u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} = \sqrt{(0.00093)^2 + (0.0023)^2}$
    $=\sqrt{0.0000008649 + 0.00000529} = \sqrt{0.0000061549} \approx 0.0025\text{mm}$
  6. 表示最终结果：
    平均值$0.5844\text{mm}$保留三位小数为$0.584\text{mm}$，总不确定度$0.0025\text{mm}$保留两位有效数字为$0.003\text{mm}$。
    所以金属丝直径的不确定度表示形式是$(0.584 \pm 0.003)\text{mm}$。
  7. 计算相对不确定度：
    相对不确定度$E_r = \frac{u}{\bar{d}} \times 100\% = \frac{0.0025}{0.5844} \times 100\% \approx 0.4\%$