题目
求幂级数 sum _(n=1)^infty n(n+1)(x)^n 的收敛域及和函数并求 sum _(n=1)^infty dfrac (n(n+1))({2)^n} 的和.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求收敛半径
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法求得。设 $a_n = n(n+1)$，则
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+2} \right| = 1.
$$
因此，收敛半径 $R = 1$。
步骤 2：求收敛域
由于收敛半径 $R = 1$，所以幂级数在 $|x| < 1$ 时收敛。需要检查端点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的收敛性。
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1)$，这是一个发散的级数。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1)(-1)^n$，这是一个发散的级数。
因此，收敛域为 $(-1, 1)$。
步骤 3：求和函数
设 $S(x) = \sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$，则
$$
S(x) = \sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n} + \sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}.
$$
考虑幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n}$ 的和函数。
- 对于 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$，其和函数为 $\frac{x}{(1-x)^2}$。
- 对于 $\sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n}$，其和函数为 $\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
因此，
$$
S(x) = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x) + x(1-x)}{(1-x)^3} = \frac{2x}{(1-x)^3}.
$$
所以，和函数为 $S(x) = \frac{2x}{(1-x)^3}$，$x \in (-1, 1)$。
步骤 4：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n(n+1)}{{2}^{n}}$ 的和
将 $x = \frac{1}{2}$ 代入和函数 $S(x)$，得到
$$
\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n(n+1)}{{2}^{n}} = S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = 8.
$$
幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法求得。设 $a_n = n(n+1)$，则
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+2} \right| = 1.
$$
因此，收敛半径 $R = 1$。
步骤 2：求收敛域
由于收敛半径 $R = 1$，所以幂级数在 $|x| < 1$ 时收敛。需要检查端点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的收敛性。
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1)$，这是一个发散的级数。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }n(n+1)(-1)^n$，这是一个发散的级数。
因此，收敛域为 $(-1, 1)$。
步骤 3：求和函数
设 $S(x) = \sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$，则
$$
S(x) = \sum _{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n} + \sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}.
$$
考虑幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n}$ 的和函数。
- 对于 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$，其和函数为 $\frac{x}{(1-x)^2}$。
- 对于 $\sum _{n=1}^{\infty }n^2{x}^{n}$，其和函数为 $\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
因此，
$$
S(x) = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x) + x(1-x)}{(1-x)^3} = \frac{2x}{(1-x)^3}.
$$
所以，和函数为 $S(x) = \frac{2x}{(1-x)^3}$，$x \in (-1, 1)$。
步骤 4：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n(n+1)}{{2}^{n}}$ 的和
将 $x = \frac{1}{2}$ 代入和函数 $S(x)$，得到
$$
\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n(n+1)}{{2}^{n}} = S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = 8.
$$