题目

7. (10.0分) 交换二次积分次序 int_(0)^1dyint_(0)^yf(x,y)dx

7. (10.0分) 交换二次积分次序 $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx$

题目解答

答案

原积分限为 $0 \leq y \leq 1$，$0 \leq x \leq y$，表示区域 $D$ 由直线 $y = x$，$y = 1$，$x = 0$ 围成。交换次序后，$x$ 的范围变为 $0$ 到 $1$，对于每个 $x$，$y$ 的范围从 $x$ 到 $1$。 因此，交换后的积分为： \[ \boxed{\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy} \]

解析

本题考查二次积分交换积分次序的知识点。解题的关键在于根据已知的积分限确定积分区域，然后再根据新的积分次序重新确定积分限。

  1. 确定积分区域：
    • 已知原二次积分的积分限为$0\leq y\leq 1$，$0\leq x\leq y$。
    • 对于$y$的范围$0\leq y\leq 1$，表示$y$在$0$到$1$之间取值。
    • 对于$x$的范围$0\leq x\leq y$，结合$y$的范围，可知积分区域$D$是由直线$y = x$（因为$x$最大取到$y$），$y = 1$（$y$的上限）和$x = 0$（$x$的下限）所围成的区域。
  2. 交换积分次序：
    • 现在要将积分次序交换为先对$y$积分，再对$x$积分。
    • 先确定$x$的范围，从积分区域可以看出$x$的取值范围是从$0$到$1$，即$0\leq x\leq 1$。
    • 对于固定的$x$值，$y$的取值范围是从直线$y = x$到直线$y = 1$，即$x\leq y\leq 1$。
  3. 写出交换次序后的积分：
    • 根据新的积分限，交换后的二次积分为$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy$。