设P为正交矩阵,则P的列向量()A. 组成单位正交向量组;B. 必含零向量.C. 有非单位向量;D. 可能不正交

本题考查正交矩阵的定义以及单位正交向量组的概念，解题的关键在于理解正交矩阵与单位正交向量组之间的联系。

1. 明确正交矩阵的定义

若矩阵$P$为正交矩阵，则满足$P^TP = E$，其中$P^T$是$P$的转置矩阵，$E$是单位矩阵。

2. 设出矩阵$P$的列向量

设$P = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$，其中$\alpha_i$（$i = 1, 2, \cdots, n$）为$P$的列向量。

3. 分析$P^TP$的元素

\(P^T=\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}\)，则\(P^TP=\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)=\begin{pmatrix} \alpha_1^T\alpha_1 & \alpha_1^T\alpha_2 & \cdots & \alpha_1^T\alpha_n \\ \alpha_2^T\alpha_1 & \alpha_2^T\alpha_2 & \cdots & \alpha_2^T\alpha_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_n^T\alpha_1 & \alpha_n^T\alpha_2 & \cdots & \alpha_n^T\alpha_n \end{pmatrix}\)。

4. 结合单位矩阵的性质分析列向量的性质

因为\(P^TP = E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)，所以有：

• 当$i = j$时，$\alpha_i^T\alpha_i = 1$。根据向量内积的性质，$\alpha_i^T\alpha_i=\vert\vert\alpha_i\vert\vert^2$，所以$\vert\vert\alpha_i\vert\vert = 1$，这表明$P$的列向量都是单位向量。
• 当$i\neq j$时，$\alpha_i^T\alpha_j = 0$。根据向量内积的性质，$\alpha_i^T\alpha_j=\vert\vert\alpha_i\vert\vert\vert\vert\alpha_j\vert\vert\cos\theta_{ij}$（其中$\theta_{ij}$是$\alpha_i$与$\alpha_j$的夹角），由于$\alpha_i^T\alpha_j = 0$且$\vert\vert\alpha_i\vert\vert=\vert\vert\alpha_j\vert\vert = 1$，所以$\cos\theta_{ij}=0$，即$\theta_{ij}=\frac{\pi}{2}$，这表明$P$的列向量两两正交。

综上，$P$的列向量组成单位正交向量组。