27.【单选题】(2分) 由曲线y=x^2,x=y^2所围成的平面图形的面积为（）A. (2)/(3)B. (1)/(3)C. (1)/(2)D. (3)/(2)

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路是先求出两条曲线的交点，从而确定积分区间，再判断在该区间内哪条曲线在上方，哪条曲线在下方，最后根据定积分求面积的公式计算出所围成图形的面积。

步骤一：求两曲线的交点

联立两曲线方程$\begin{cases}y = x^2\\x = y^2\end{cases}$，将$y = x^2$代入$x = y^2$可得：
$x = (x^2)^2=x^4$
移项得到$x^4 - x = 0$，提取公因式$x$得$x(x^3 - 1) = 0$。
根据立方差公式$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，$x^3 - 1=(x - 1)(x^2 + x + 1)$，则$x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$。
对于一元二次方程$x^2 + x + 1 = 0$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4\times1\times1 = -3\lt 0$，所以该方程无实数解。
则$x = 0$或$x - 1 = 0$，即$x = 0$或$x = 1$。
当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = 1$时，$y = 1$。
所以两曲线的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，那么积分区间为$[0,1]$。

步骤二：判断在区间$[0,1]$上两曲线的上下位置关系

在区间$[0,1]$上，对于相同的$x$值，$\sqrt{x}\geq x^2$（可通过作差法$\sqrt{x}-x^2=\sqrt{x}(1 - x^{\frac{3}{2}})$，在$[0,1]$上$\sqrt{x}\geq0$，$1 - x^{\frac{3}{2}}\geq0$，所以$\sqrt{x}-x^2\geq0$），即曲线$x = y^2$（$y = \sqrt{x}$）在曲线$y = x^2$的上方。

步骤三：计算所围成图形的面积

根据定积分求面积的公式$S=\int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]dx$（其中$f(x)$为上方曲线，$g(x)$为下方曲线，$[a,b]$为积分区间），可得：
$S=\int_{0}^{1} (\sqrt{x}-x^2)dx$
根据积分运算法则$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），分别对$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$和$x^2$积分：
$\int_{0}^{1} (\sqrt{x}-x^2)dx=\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}}dx-\int_{0}^{1} x^2dx$
$=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}$
$=\frac{2}{3}\times1^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times0^{\frac{3}{2}}-(\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3)$
$=\frac{2}{3}-0 - (\frac{1}{3}-0)$
$=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{3}$