设总体X~N(μ,σ²)，若σ²已知，总体均值μ的置信度为1-α的置信区间为(X-λ(sigma)/(sqrt(n)),X+λ(sigma)/(sqrt(n)))，则λ=()。A. z_((alpha)/(2))B. (1)/(2)z_((alpha)/(2))C. z_(alpha)D. (1)/(2)z_(alpha)

本题考查正态总体均值在方差已知时的置信区间的知识点，解题的关键在于理解置信区间的定义以及标准正态分布的性质。

步骤一：明确置信区间的定义

对于总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间$(\overline{X}-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，根据置信区间的定义可知$P\{\overline{X}-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\}=1 - \alpha$。

步骤二：对不等式进行变形

将不等式$\overline{X}-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$进行移项可得$-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu - \overline{X}<\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
因为总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，那么样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，进一步可得$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$，所以$\frac{\mu - \overline{X}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。
将$-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu - \overline{X}<\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$两边同时除以$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到$-\lambda<\frac{\mu - \overline{X}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<\lambda$。

步骤三：根据标准正态分布的性质求解$\lambda$

由于$P\{-\lambda<\frac{\mu - \overline{X}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<\lambda\}=1 - \alpha$，而标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P\{-\lambda<Z<\lambda\}=\varPhi(\lambda)-\varPhi(-\lambda)$，又因为$\varPhi(-\lambda)=1 - \varPhi(\lambda)$，则$P\{-\lambda<Z<\lambda\}=\varPhi(\lambda)-(1 - \varPhi(\lambda)) = 2\varPhi(\lambda)-1$。
即$2\varPhi(\lambda)-1 = 1 - \alpha$，移项可得$2\varPhi(\lambda)=2 - \alpha$，两边同时除以$2$得$\varPhi(\lambda)=1-\frac{\alpha}{2}$。
根据标准正态分布分位点的定义，若$\varPhi(z_{\frac{\alpha}{2}})=1 - \frac{\alpha}{2}$，所以$\lambda = z_{\frac{\alpha}{2}}$。