下列正项级数中，收敛的是（） A. sum_(n=1)^infty (n)/(2^n). B. sum_(n=1)^infty (2n^2)/((n!)^2). C. sum_(n=1)^infty (n^n)/(n!). D. sum_(n=1)^infty (2^n)/(n(n+1)). E. sum_(n=1)^infty (n+1)/(n^n). F. sum_(n=1)^infty n^2 sin (pi)/(2^n).
题目解答
答案
为了确定给定的正项级数中哪些是收敛的，我们将使用各种收敛测试，如比值测试、根测试、比较测试和积分测试。让我们逐步分析每个级数。 级数 A: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 我们可以使用比值测试。设 $a_n = \frac{n}{2^n}$。那么， $a_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}.$ 比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 是 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \frac{n+1}{2n}.$ 当 $n \to \infty$ 时，这个比值的极限是 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$ 由于 $\frac{1}{2} < 1$，级数根据比值测试是收敛的。 级数 B: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{(n!)^2}$ 我们可以使用比值测试。设 $a_n = \frac{2n^2}{(n!)^2}$。那么， $a_{n+1} = \frac{2(n+1)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{2(n+1)^2}{(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{2}{(n!)^2}.$ 比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 是 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2}{(n!)^2}}{\frac{2n^2}{(n!)^2}} = \frac{1}{n^2}.$ 当 $n \to \infty$ 时，这个比值的极限是 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0.$ 由于 $0 < 1$，级数根据比值测试是收敛的。 级数 C: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}$ 我们可以使用比值测试。设 $a_n = \frac{n^n}{n!}$。那么， $a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n!} = \frac{(n+1)^n}{n!}.$ 比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 是 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^n}{n!}}{\frac{n^n}{n!}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$ 当 $n \to \infty$ 时，这个比值的极限是 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.$ 由于 $e > 1$，级数根据比值测试是发散的。 级数 D: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n+1)}$ 我们可以使用比较测试。注意 $\frac{2^n}{n(n+1)} \geq \frac{2^n}{(n+1)^2}.$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{(n+1)^2}$ 是一个底数大于1的指数级数除以一个多项式，它是发散的。因此，根据比较测试，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n+1)}$ 是发散的。 级数 E: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^n}$ 我们可以使用根测试。设 $a_n = \frac{n+1}{n^n}$。那么， $\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n+1}{n^n}} = \frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}.$ 当 $n \to \infty$ 时，这个表达式的极限是 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n+1}}{n} = \frac{1}{\infty} = 0.$ 由于 $0 < 1$，级数根据根测试是收敛的。 级数 F: $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin \frac{\pi}{2^n}$ 我们可以使用比较测试。注意对于大的 $n$，$\sin \frac{\pi}{2^n} \approx \frac{\pi}{2^n}$。因此， $n^2 \sin \frac{\pi}{2^n} \approx n^2 \frac{\pi}{2^n} = \frac{\pi n^2}{2^n}.$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi n^2}{2^n}$ 是一个底数大于1的指数级数除以一个多项式，它是收敛的。因此，根据比较测试，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin \frac{\pi}{2^n}$ 是收敛的。 收敛的级数是 A, B, E, 和 F。因此，答案是 $\boxed{A, B, E, F}.$
解析
本题主要考查正项级数收敛性的判断，我们将使用比值测试、根测试、比较测试等方法来逐一分析每个选项中的级数。
选项A：$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$
使用比值测试，设$a_n = \frac{n}{2^n}$，则$a_{n + 1} = \frac{n + 1}{2^{n + 1}}$。
计算比值$\frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\begin{align*}\frac{a_{n + 1}}{a_n} &= \frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^n}}\\&= \frac{n + 1}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n}\\&= \frac{n + 1}{2n}\end{align*}$
求极限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$
因为$\frac{1}{2} < 1$，根据比值测试，该级数收敛。
选项B：$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2n^2}{(n!)^2}$
使用比值测试，设$a_n = \frac{2n^2}{(n!)^2}$，则$a_{n + 1} = \frac{2(n + 1)^2}{((n + 1)!)^2} = \frac{2(n + 1)^2}{(n + 1)^2(n!)^2} = \frac{2}{(n!)^2}$。
计算比值$\frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\begin{align*}\frac{a_{n + 1}}{a_n} &= \frac{\frac{2}{(n!)^2}}{\frac{2n^2}{(n!)^2}}\\&= \frac{2}{(n!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{2n^2}\\&= \frac{1}{n^2}\end{align*}$
求极限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
因为$0 < 1$，根据比值测试，该级数收敛。
选项C：$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}$
使用比值测试，设$a_n = \frac{n^n}{n!}$，则$a_{n + 1} = \frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)!} = \frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1)n!} = \frac{(n + 1)^n}{n!}$。
计算比值$\frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\begin{align*}\frac{a_{n + 1}}{a_n} &= \frac{\frac{(n + 1)^n}{n!}}{\frac{n^n}{n!}}\\&= \frac{(n + 1)^n}{n!} \cdot \frac{n!}{n^n}\\&= (\frac{n + 1}{n})^n\\&= (1 + \frac{1}{n})^n\end{align*}$
求极限$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n}$：
$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$
因为$e > 1$，根据比值测试，该级数发散。
选项D：$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n + 1)}$
使用比较测试，因为$\frac{2^n}{n(n + 1)} \geq \frac{2^n}{(n + 1)^2}$。
而级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{(n + 1)^2}$是指数级数除以多项式，底数大于1，该级数发散。
根据比较测试，原级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n(n + 1)}$发散。
选项E：$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^n}$
使用根测试，设$a_n = \frac{n + 1}{n^n}$，则$\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n + 1}{n^n}} = \frac{\sqrt[n]{n + 1}}{n}$。
求极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n + 1}}{n} = \frac{1}{\infty} = 0$
因为$0 < 1$，根据根测试，该级数收敛。
选项F：$\sum_{n = 1}^{\infty} n^2 \sin \frac{\pi}{2^n}$
使用比较测试，当$n$很大时，$\sin \frac{\pi}{2^n} \approx \frac{\pi}{2^n}$，所以$n^2 \sin \frac{\pi}{2^n} \approx \frac{\pi n^2}{2^n}$。
级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\pi n^2}{2^n}$是指数级数除以多项式，底数大于1，该级数收敛。
根据比较测试，原级数$\sum_{n = 1}^{\infty} n^2 \sin \frac{\pi}{2^n}$收敛。