设R是有单位元的环.证明:环R的可逆元全体U(R)关于环R的乘法-|||-构成群.

步骤 1：定义可逆元
设R是有单位元的环，记为e。环R的可逆元全体记为U(R)，即U(R) = {u ∈ R | ∃v ∈ R, uv = vu = e}。

步骤 2：证明U(R)非空
由于e是R的单位元，显然e ∈ U(R)，因此U(R)非空。

步骤 3：证明U(R)中的每个元素在R中都可逆
对任意的u ∈ U(R)，存在v ∈ R，使得uv = vu = e。因此，u在R中可逆，且其逆元为v。

步骤 4：证明U(R)关于环R的乘法封闭
设u, v ∈ U(R)，则存在u', v' ∈ R，使得uu' = u'u = e，vv' = v'v = e。考虑uv，我们需要证明uv ∈ U(R)。由于(uv)(v'u') = u(vv')u' = ueu' = uu' = e，且(v'u')(uv) = v'(uu')v = v'ev = v'v = e，因此uv ∈ U(R)。

步骤 5：证明U(R)关于乘法满足结合律
由于环R的乘法满足结合律，即对任意的u, v, w ∈ R，有(uv)w = u(vw)，因此U(R)关于乘法也满足结合律。

步骤 6：证明U(R)关于乘法构成群
根据步骤2，U(R)非空；根据步骤3，U(R)中的每个元素在R中都可逆；根据步骤4，U(R)关于环R的乘法封闭；根据步骤5，U(R)关于乘法满足结合律。因此，U(R)关于环R的乘法构成群。