题目

(2022全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计-|||-一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面-|||-积(单位:m^2)和材积量(单位:m^3 ),得到如下数据:(2022全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计-|||-一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面-|||-积(单位:m^2)和材积量(单位:m^3 ),得到如下数据:


题目解答

答案


解析

本题主要考查平均数、样本相关系数的计算以及利用比例关系进行总量估计。解题思路如下：

  1. 计算平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：
    • 平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}$，其中$n$为样本数量，$x_{i}$和$y_{i}$分别为第$i$个样本的根部横截面积和材积量。
    • 已知$n = 10$，$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}=0.6$，$\sum_{i = 1}^{10}y_{i}=3.9$，将其代入公式可得：
      • 平均一棵的根部横截面积$\overline{x}=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}x_{i}=\frac{0.6}{10}=0.06(m^{2})$。
      • 平均一棵的材积量$\overline{y}=\frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}y_{i}=\frac{3.9}{10}=0.39(m^{3})$。
  2. 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数：
    • 样本相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$。
    • 先对分子$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})$进行变形：
      • 根据多项式乘法展开$(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=x_{i}y_{i}-\overline{x}y_{i}-x_{i}\overline{y}+\overline{x}\overline{y}$，则$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=\sum_{i = 1}^{10}x_{i}y_{i}-10\overline{x}\overline{y}$。
      • 已知$\overline{x}=0.06$，$\overline{y}=0.39$，$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}y_{i}=0.2474$，代入可得$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=0.2474 - 10\times0.06\times0.39=0.2474 - 0.234 = 0.0134$。
    • 再对分母中的$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}$和$\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}$进行变形：
      • 根据完全平方公式$(x_{i}-\overline{x})^{2}=x_{i}^{2}-2x_{i}\overline{x}+\overline{x}^{2}$，则$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}-10\overline{x}^{2}$。
      • 已知$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}=0.038$，$\overline{x}=0.06$，代入可得$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}=0.038 - 10\times0.06^{2}=0.038 - 0.036 = 0.002$。
      • 同理，$(y_{i}-\overline{y})^{2}=y_{i}^{2}-2y_{i}\overline{y}+\overline{y}^{2}$，则$\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}=\sum_{i = 1}^{10}y_{i}^{2}-10\overline{y}^{2}$。
      • 已知$\sum_{i = 1}^{10}y_{i}^{2}=1.6158$，$\overline{y}=0.39$，代入可得$\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}=1.6158 - 10\times0.39^{2}=1.6158 - 1.521 = 0.0948$。
    • 计算分母$\sqrt{\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}}$：
      • 已知$\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}=0.002$，$\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}=0.0948$，则$\sqrt{\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}}=\sqrt{0.002\times0.0948}=\sqrt{0.0001896}$。
      • 又已知$\sqrt{1.896}\approx1.377$，则$\sqrt{0.0001896}=\frac{\sqrt{1.896}}{100}\approx\frac{1.377}{100}=0.01377$。
    • 计算样本相关系数$r$：
      • 将分子$0.0134$和分母$0.01377$代入$r=\frac{\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{10}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$，可得$r=\frac{0.0134}{0.01377}\approx0.98$。
  3. 估计该林区这种树木的总材积量：
    • 因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，设该林区这种树木的总材积量的估计值为$Y m^{3}$。
    • 已知样本中根部横截面积总和为$0.6m^{2}$，材积量总和为$3.9m^{3}$，该林区所有树木根部横截面积总和为$186m^{2}$，则可列出比例式$\frac{3.9}{0.6}=\frac{Y}{186}$。
    • 通过交叉相乘可得$Y=\frac{186\times3.9}{0.6}=1209(m^{3})$。