微分方程y^primeprime=(1)/(1+x^2)的通解是（）A. xarctan x-(1)/(2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)B. xarctan x+(1)/(2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)C. xarctan x+C_(1)x+C_(2)D. -(1)/(2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)

本题考查可降阶的二阶微分方程的求解，解题思路是通过对给定的二阶微分方程进行两次积分来得到通解。

第一步：对$y^{\prime\prime}=\frac{1}{1 + x^2}$进行第一次积分求$y'$

根据不定积分的定义，$y'$是$y^{\prime\prime}$的一个原函数，所以对$y^{\prime\prime}=\frac{1}{1 + x^2}$两边同时积分可得：
$y'=\int\frac{1}{1 + x^2}dx$
根据积分公式$\int\frac{1}{1 + x^2}dx=\arctan x + C$，这里$C$为常数，所以$y'=\arctan x + C_1$，其中$C_1$是积分常数。

第二步：对$y'=\arctan x + C_1$进行第二次积分求$y$

$y=\int(\arctan x + C_1)dx=\int\arctan xdx + \int C_1dx$

• 计算$\int\arctan xdx$：
  使用分部积分法，设$u = \arctan x$，$dv = dx$，则$du = \frac{1}{1 + x^2}dx$，$v = x$。
  根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$可得：
  $\int\arctan xdx = x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}dx$
  令$t = 1 + x^2$，则$dt = 2xdx$，$\frac{1}{2}dt = xdx$，那么$\int\frac{x}{1 + x^2}dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$。
  根据积分公式$\int\frac{1}{t}dt=\ln|t| + C$，可得$\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$。
  所以$\int\arctan xdx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$。
• 计算$\int C_1dx$：
  根据积分公式$\int kdx = kx + C$（$k$为常数），可得$\int C_1dx = C_1x + C$。

将上述结果代入$y=\int\arctan xdx + \int C_1dx$可得：
$y = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_1x + C_2$，其中$C_2$是积分常数。