题目

1.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，若sigma^2已知，总体均值mu的置信度为1-α的置信区间为：(overline(X)-lambda(sigma)/(sqrt(n)),overline(X)+lambda(sigma)/(sqrt(n)))，则lambda=____.

1.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，若$\sigma^{2}$已知，总体均值$\mu$的置信度为1-α的置信区间为：$(\overline{X}-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，则$\lambda=$____.

题目解答

答案

根据题目，总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 已知。样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。标准化后，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
对于置信度 $1-\alpha$，有：
$P\left(-Z_{\alpha/2} < \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$
整理得：
$P\left(\overline{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
与题目给定的置信区间 $(\overline{X} - \lambda \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + \lambda \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ 对比，可得 $\lambda = Z_{\alpha/2}$。

答案： $\lambda = Z_{\alpha/2}$

解析

本题考查正态总体均值在方差已知情况下的置信区间的知识点。解题的关键思路是先明确总体分布以及样本均值的分布，然后对样本均值进行标准化处理，再根据置信度的定义得到关于总体均值的概率不等式，最后通过与题目所给的置信区间进行对比得出$\lambda$的值。

  1. 已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，根据正态分布的性质，样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
  2. 对样本均值$\overline{X}$进行标准化处理，令$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，由于$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，所以$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
  3. 对于置信度为$1 - \alpha$，根据标准正态分布的性质，存在$Z_{\alpha/2}$使得$P\left(-Z_{\alpha/2} < Z < Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$，将$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$代入可得：
    • $P\left(-Z_{\alpha/2} < \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$。
  4. 对不等式$-Z_{\alpha/2} < \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} < Z_{\alpha/2}$进行整理：
    • 首先不等式两边同时乘以$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到$-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \overline{X} - \mu < Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 然后不等式两边同时减去$\overline{X}$并乘以$-1$，不等号方向改变，得到$\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，即$P\left(\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$。
  5. 题目中给定总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X}-\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+\lambda\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，与我们推导得到的$(\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$进行对比，可得$\lambda = Z_{\alpha/2}$。