设Omega为区域x^2+y^2+z^2leq z，则iiint_(Omega)(x^2+y^2+z^2)dxdydz=A. int_(0)^2pidthetaint_(0)^pidvarphiint_(0)^cosvarphir^3sinvarphi drB. int_(0)^2pidthetaint_(0)^(pi)/(2)dvarphiint_(0)^cosvarphir^4sinvarphi drC. int_(0)^2pidthetaint_(0)^(pi)/(2)dvarphiint_(0)^(1)/(2)r^3sinvarphi drD. int_(0)^2pidthetaint_(0)^(pi)/(2)dvarphiint_(0)^1r^3sinvarphi dr
A. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{\cos\varphi}r^{3}\sin\varphi dr$
B. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{\cos\varphi}r^{4}\sin\varphi dr$
C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{\frac{1}{2}}r^{3}\sin\varphi dr$
D. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{1}r^{3}\sin\varphi dr$
题目解答
答案
解析
本题考查利用球坐标计算三重积分，解题思路是先将积分区域$\Omega$的方程转化为球坐标方程，确定球坐标下各变量的积分限，再将被积函数转化为球坐标形式，最后根据球坐标下的三重积分公式得到积分表达式。
步骤一：将积分区域$\Omega$的方程转化为球坐标方程
球坐标变换公式为$\begin{cases}x = r\sin\varphi\cos\theta\\y = r\sin\varphi\sin\theta\\z = r\cos\varphi\end{cases}$，且$dxdydz = r^{2}\sin\varphi drd\varphi d\theta$。
已知积分区域$\Omega$的方程为$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq z$，将球坐标变换公式代入可得：
$(r\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(r\sin\varphi\sin\theta)^{2}+(r\cos\varphi)^{2}\leq r\cos\varphi$
根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$，对上式进行化简：
$\begin{align*}r^{2}\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta)+r^{2}\cos^{2}\varphi&\leq r\cos\varphi\\r^{2}\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\varphi&\leq r\cos\varphi\\r^{2}(\sin^{2}\varphi + \cos^{2}\varphi)&\leq r\cos\varphi\\r^{2}&\leq r\cos\varphi\end{align*}$
因为$r\geq0$，所以$r\leq\cos\varphi$。
步骤二：确定球坐标下各变量的积分限
- $\theta$的范围：由于积分区域关于$z$轴对称，$\theta$的取值范围是$[0, 2\pi]$。
- $\varphi$的范围：由$r = \cos\varphi\geq0$，且$0\leq\varphi\leq\pi$，可得$0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}$。
- $r$的范围：由步骤一可知$0\leq r\leq\cos\varphi$。
步骤三：将被积函数转化为球坐标形式
被积函数为$x^{2}+y^{2}+z^{2}$，将球坐标变换公式代入可得：
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(r\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(r\sin\varphi\sin\theta)^{2}+(r\cos\varphi)^{2}=r^{2}$
步骤四：根据球坐标下的三重积分公式得到积分表达式
球坐标下的三重积分公式为$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi\int_{r_1}^{r_2}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^{2}\sin\varphi dr$。
将$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$，以及$\theta$、$\varphi$、$r$的积分限代入可得：
$\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{\cos\varphi}r^{2}\cdot r^{2}\sin\varphi dr=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{\cos\varphi}r^{4}\sin\varphi dr$