3.下列极限运算正确的是 ()-|||-A. lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)=0 B. lim _(xarrow infty )dfrac (sin x)(x)=1-|||-C. lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(x))}^x=e D. lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)=1

本题主要考查函数极限的相关知识，包括无穷小量与有界函数的乘积、重要极限公式等知识点。解题思路是根据不同极限的性质和公式，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

本题可根据无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量这一性质来判断。

• 当$x \to 0$时，$x$是无穷小量，即$\lim\limits_{x \to 0} x = 0$。
• 对于函数$\sin\frac{1}{x}$，由于正弦函数的值域是$[-1,1]$，所以$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant 1$，即$\sin\frac{1}{x}$是有界函数。
• 根据无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量，可得$\lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$，所以选项A正确。

选项B

本题可根据无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量这一性质来判断。

• 当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x}$是无穷小量，即$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$。
• 对于函数$\sin x$，由于正弦函数的值域是$[-1,1]$，所以$\vert\sin x\vert\leqslant 1$，即$\sin x$是有界函数。
• 那么$\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}\cdot\sin x$，根据无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量，可得$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0\neq1$，所以选项B错误。

选项C

本题可根据重要极限公式$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$来判断。

• 对$\lim\limits_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$进行变形，令$t = -x$，则当$x \to \infty$时，$t \to -\infty$。
• 此时$\lim\limits_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = \lim\limits_{t \to -\infty} (1 + \frac{1}{t})^{-t}=\lim\limits_{t \to -\infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{t})^t}$。
• 因为$\lim\limits_{t \to -\infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$，所以$\lim\limits_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}\neq e$，所以选项C错误。

选项D

由选项A的分析可知$\lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0\neq1$，所以选项D错误。