直线 l_1: (x-2)/(5) = (y+1)/(1) = (z-1)/(-3) 与直线 {x=t-1, y=-2t+3, z=t-1. 的位置关系是(）. A 平行; B 垂直; C 相交但不垂直; D 无法确定.
直线 $l_1: \frac{x-2}{5} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-3}$
与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-1, \\ y=-2t+3, \\ z=t-1\end{array}\right.$ 的位置关系是(）.
A 平行;
B 垂直;
C 相交但不垂直;
D 无法确定.
题目解答
答案
为了确定直线 $l_1: \frac{x-2}{5} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-3}$ 与直线 $l_2: \left\{\begin{array}{l}x=t-1 \\ y=-2t+3 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 的位置关系，我们需要分析这两条直线的方向向量，并检查它们是否平行、垂直或相交。
步骤1: 找出直线 $l_1$ 的方向向量
直线 $l_1$ 的对称式方程为 $\frac{x-2}{5} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-1}{-3}$。从这个方程中，我们可以直接读出直线 $l_1$ 的方向向量为 $\mathbf{d}_1 = (5, 1, -3)$。
步骤2: 找出直线 $l_2$ 的方向向量
直线 $l_2$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t-1 \\ y=-2t+3 \\ z=t-1\end{array}\right.$。从这个方程中，我们可以看出，当参数 $t$ 变化时， $x$、$y$ 和 $z$ 的变化量分别为 $1$、$-2$ 和 $1$。因此，直线 $l_2$ 的方向向量为 $\mathbf{d}_2 = (1, -2, 1)$。
步骤3: 检查方向向量是否平行
两个向量平行，当且仅当一个向量是另一个向量的标量倍数。即存在一个常数 $k$，使得 $\mathbf{d}_1 = k \mathbf{d}_2$。
假设 $\mathbf{d}_1 = k \mathbf{d}_2$，则有：
$(5, 1, -3) = k (1, -2, 1)$
这将导致以下方程组：
$5 = k$
$1 = -2k$
$-3 = k$
显然，这个方程组没有解，因为 $k$ 不能同时等于 $5$、$-\frac{1}{2}$ 和 $-3$。因此，方向向量 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$ 不平行，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 不平行。
步骤4: 检查方向向量是否垂直
两个向量垂直，当且仅当它们的点积为零。即 $\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = 0$。
计算点积：
$\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = 5 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot 1 = 5 - 2 - 3 = 0$
由于点积为零，方向向量 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$ 垂直，因此直线 $l_1$ 和 $l_2$ 垂直。
结论
直线 $l_1$ 和直线 $l_2$ 的位置关系是垂直。
答案：$\boxed{B}$
解析
本题考查空间中两条直线的位置关系，解题思路是先分别找出两条直线的方向向量，然后通过判断方向向量是否平行或垂直来确定直线的位置关系。若方向向量平行，则直线平行；若方向向量垂直，则直线垂直；若既不平行也不垂直，再进一步判断是否相交。
步骤1：找出直线$l_1$的方向向量
直线$l_1$的对称式方程为$\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{-3}$。
对于直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$，其方向向量为$\vec{d}=(m,n,p)$。
所以直线$l_1$的方向向量为$\vec{d_1} = (5, 1, -3)$。
步骤2：找出直线$l_2$的方向向量
直线$l_2$的参数方程为$\begin{cases}x = t - 1\\y = -2t + 3\\z = t - 1\end{cases}$。
对于直线的参数方程$\begin{cases}x = x_0 + m_1t\\y = y_0 + n_1t\\z = z_0 + p_1t\end{cases}$，其方向向量为$\vec{d}=(m_1,n_1,p_1)$。
在直线$l_2$的参数方程中，$x$、$y$、$z$关于$t$的系数分别为$1$、$-2$、$1$，所以直线$l_2$的方向向量为$\vec{d_2} = (1, -2, 1)$。
步骤3：检查方向向量是否平行
若两个向量$\vec{d_1}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{d_2}=(x_2,y_2,z_2)$平行，则存在一个常数$k$，使得$\vec{d_1} = k\vec{d_2}$，即$(x_1,y_1,z_1)=k(x_2,y_2,z_2)=(kx_2,ky_2,kz_2)$。
假设$\vec{d_1} = k\vec{d_2}$，则有$(5, 1, -3) = k(1, -2, 1)$，可得到方程组$\begin{cases}5 = k\\1 = -2k\\-3 = k\end{cases}$。
由$5 = k$和$1 = -2k$可得$k = 5$且$k = -\frac{1}{2}$，这相互矛盾，同时$k$也不能同时等于$5$和$-3$，所以该方程组无解。
因此，方向向量$\vec{d_1}$和$\vec{d_2}$不平行，直线$l_1$和$l_2$不平行。
步骤4：检查方向向量是否垂直
若两个向量$\vec{d_1}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{d_2}=(x_2,y_2,z_2)$垂直，则它们的点积$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$。
计算$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}$：
$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 5\times1 + 1\times(-2) + (-3)\times1$
$= 5 - 2 - 3$
$= 0$
由于点积为零，所以方向向量$\vec{d_1}$和$\vec{d_2}$垂直，因此直线$l_1$和$l_2$垂直。