题目

旋转抛物面 z = x^2 + y^2 (0 leq z leq 1) 在 yoz 坐标面上的投影为( )A. x^2 + y^2 leq 1B. x^2 leq z leq 1C. y^2 leq z leq 1D. z geq y^2

旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ ($0 \leq z \leq 1$) 在 $yoz$ 坐标面上的投影为( )

A. $x^2 + y^2 \leq 1$

B. $x^2 \leq z \leq 1$

C. $y^2 \leq z \leq 1$

D. $z \geq y^2$

题目解答

答案

C. $y^2 \leq z \leq 1$

解析

本题考查空间曲面在坐标面上的投影知识，解题思路是先确定旋转抛物面在$yOz$坐标面上投影的边界曲线，再根据投影区域的范围确定投影区域。

  1. 确定投影区域的边界曲线：
    • 要求旋转抛物面$z = x^2 + y^2$（$0 \leq z \leq 1$）在$yOz$坐标面上的投影，需要消去$x$。
    • 因为在$yOz$坐标面上$x = 0$，将$x = 0$代入旋转抛物面方程$z = x^2 + y^2$，可得$z = y^2$。
    • 同时，已知$0 \leq z \leq 1$，所以投影区域是由曲线$z = y^2$和$z = 1$所围成的。
  2. 确定投影区域：
    • 对于$yOz$平面上的点，$z$的取值范围是从曲线$z = y^2$到$z = 1$，即$y^2 \leq z \leq 1$。