题目

二次积分 int_(0)^1 dx int_(x^2)^x (x^2 + y^2)^-(1)/(2) , dy 可以写成A. int_(0)^(pi)/(4) mathrm(d)theta int_(0)^sec theta tan theta r^3 , mathrm(d)rB. int_(0)^(pi)/(4) mathrm(d)theta int_(0)^sec theta tan theta r^2 , mathrm(d)rC. int_(0)^(pi)/(4) mathrm(d)theta int_(0)^sec theta tan theta r , mathrm(d)rD. int_(0)^(pi)/(4) mathrm(d)theta int_(0)^sec theta tan theta mathrm(d)r

二次积分 $\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \, dy$ 可以写成

A. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sec \theta \tan \theta} r^3 \, \mathrm{d}r$

B. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sec \theta \tan \theta} r^2 \, \mathrm{d}r$

C. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sec \theta \tan \theta} r \, \mathrm{d}r$

D. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sec \theta \tan \theta} \mathrm{d}r$

题目解答

答案

D. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sec \theta \tan \theta} \mathrm{d}r$

解析

本题考查将直角坐标系下的二次积分转化为极坐标系下的二次积分，解题思路如下：

  1. 首先确定积分区域 $D$ 在直角坐标系下的范围，由已知二次积分$\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \, dy$可知，积分区域 $D$ 由$x = 0$，$x = 1$，$y = x^2$和$y = x$所围成。
  2. 然后将直角坐标转化为极坐标，在极坐标系中$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA=dxdy = rdr d\theta$，被积函数$(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}=\frac{1}{r}$。
  3. 接着确定极坐标系下积分区域 $D$ 的范围：
    • 对于$\theta$的范围：
      • 直线$y = x$的斜率为$1$，在极坐标系中$\tan\theta=\frac{y}{x}=1$，可得$\theta=\frac{\pi}{4}$；$x$轴正半轴$\theta = 0$，所以$\theta$的范围是$0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}$。
    • 对于$r$的范围：
      • 曲线$y = x^2$转化为极坐标方程，将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$代入$y = x^2$，得到$r\sin\theta=(r\cos\theta)^2$，即$r=\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\sec\theta\tan\theta$；从原点出发，所以$r$的范围是$0\leqslant r\leqslant\sec\theta\tan\theta$。
  4. 最后将直角坐标系下的二次积分转化为极坐标系下的二次积分：
    • 原积分$\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \, dy$，把$(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{r}$，$dA = rdr d\theta$代入可得：
      $\int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \, dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\sec\theta\tan\theta}\frac{1}{r}\cdot rdr=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{\sec\theta\tan\theta}dr$