题目
在极坐标下,二重积分适用于哪些情形?A. 被积函数含x^2+y^2项B. 计算立方体体积C. 积分区域为圆形或扇形D. 对称性简化计算
在极坐标下,二重积分适用于哪些情形?
A. 被积函数含$x^2+y^2$项
B. 计算立方体体积
C. 积分区域为圆形或扇形
D. 对称性简化计算
题目解答
答案
ACD
A. 被积函数含$x^2+y^2$项
C. 积分区域为圆形或扇形
D. 对称性简化计算
A. 被积函数含$x^2+y^2$项
C. 积分区域为圆形或扇形
D. 对称性简化计算
解析
本题考查极坐标下二重积分的适用情形,解题思路是根据极坐标的特点,分析每个选项是否符合极坐标下二重积分的应用场景。
- 选项A:
在极坐标中,$x = r\cos\theta$,$y = r\sin\theta$,则$x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta$。
根据三角函数的平方关系$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$,可得$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
当被积函数含有$x^{2}+y^{2}$项时,在极坐标下可转化为$r^{2}$,能使被积函数形式更简单,便于计算二重积分,所以该选项正确。 - 选项B:
计算立方体体积通常使用三重积分,而不是二重积分。二重积分主要用于计算平面区域上的面积、曲顶柱体的体积等。所以该选项错误。 - 选项C:
在极坐标中,圆形的方程可以表示为$r = a$($a$为常数),扇形可以通过角度$\theta$的范围来表示。
当积分区域为圆形或扇形时,在极坐标下积分限的确定会更加方便,能简化二重积分的计算过程,所以该选项正确。 - 选项D:
如果积分区域和被积函数具有对称性,在极坐标下可以利用对称性来简化计算。
例如,当积分区域关于极轴对称,被积函数关于$y$是偶函数时,可以利用对称性将积分范围缩小,从而简化计算,所以该选项正确。