24.单选题(3分)对于给定的正数α(0<α><1)，设u_(alpha)、χ_(alpha)^2(n)、t_(alpha)(n)分别是标准正态分布、χ^2(n)分布、t(n)分布的水平α的上侧分位数，下面结论中不正确的是【】。A χ_(1-α)^2(n)=-χ_(α)^2(n)B t_(1-α)(n)=-t_(α)(n)C u_(1-α)=-u_(α)D u_(1-α/2)=-u_(α/2)
题目解答
答案
答案：A
解析：
- 选项A： $\chi^2(n)$ 分布为非负右偏分布，不关于0对称，故 $χ_{1-α}^{2}(n) \neq -χ_{α}^{2}(n)$，错误。
- 选项B： $t(n)$ 分布关于0对称，满足 $t_{1-α}(n) = -t_{α}(n)$，正确。
- 选项C： 标准正态分布对称，满足 $u_{1-α} = -u_{α}$，正确。
- 选项D： 同C，满足 $u_{1-α/2} = -u_{α/2}$，正确。
答案：A
解析
本题主要考查标准正态分布、$\chi^{2}(n)$分布、$t(n)$分布的上侧分位数的性质，解题的关键在于明确各分布的对称性，再根据对称性判断各选项中关于上侧分位数关系的正确性。
选项A
$\chi^{2}(n)$分布是一种非负右偏分布，其概率密度函数的取值范围是$[0, +\infty)$，不关于$y$轴对称，也就是不关于$0$对称。
上侧分位数的定义为：对于随机变量$X$，若$P(X > x_{\alpha}) = \alpha$，则$x_{\alpha}$为水平$\alpha$的上侧分位数。
对于$\chi^{2}(n)$分布，$P(\chi^{2}(n) > \chi_{\alpha}^{2}(n)) = \alpha$，$P(\chi^{2}(n) > \chi_{1 - \alpha}^{2}(n)) = 1 - \alpha$。
由于其非对称性，$\chi_{1 - \alpha}^{2}(n)$和$-\chi_{\alpha}^{2}(n)$没有相等的关系，即$\chi_{1 - \alpha}^{2}(n) \neq - \chi_{\alpha}^{2}(n)$，所以选项A错误。
选项B
$t(n)$分布的概率密度函数是关于$y$轴对称的，即$t(n)$分布关于$0$对称。
根据上侧分位数的定义，$P(t(n) > t_{\alpha}(n)) = \alpha$，$P(t(n) > t_{1 - \alpha}(n)) = 1 - \alpha$。
因为分布关于$0$对称，所以$P(t(n) < -t_{\alpha}(n)) = \alpha$，那么$P(t(n) > -t_{\alpha}(n)) = 1 - \alpha$，由此可得$t_{1 - \alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)$，选项B正确。
选项C
标准正态分布$N(0, 1)$的概率密度函数是关于$y$轴对称的，即标准正态分布关于$0$对称。
对于标准正态分布$Z \sim N(0, 1)$，$P(Z > u_{\alpha}) = \alpha$，$P(Z > u_{1 - \alpha}) = 1 - \alpha$。
由于分布关于$0$对称，所以$P(Z < -u_{\alpha}) = \alpha$，那么$P(Z > -u_{\alpha}) = 1 - \alpha$，所以$u_{1 - \alpha} = -u_{\alpha}$，选项C正确。
选项D
同样因为标准正态分布关于$0$对称，对于$P(Z > u_{\alpha/2}) = \alpha/2$，$P(Z > u_{1 - \alpha/2}) = 1 - \alpha/2$。
由对称性可知$P(Z < -u_{\alpha/2}) = \alpha/2$，则$P(Z > -u_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$，所以$u_{1 - \alpha/2} = -u_{\alpha/2}$，选项D正确。