排列n(n-1)...321是________排列。A. 奇排列B. 偶排列C. 非奇排列非偶排列D. 无法确定

本题考察排列的奇偶性判断，核心是计算排列的逆序数，根据逆序数的奇偶性确定排列的奇偶性。

步骤1：明确排列的定义

题目中的排列为\排列 $n(n-1)\cdots321$，这是 $n$ 个元素的倒序排列（从 $n$ 到 $1$ 的降序排列）。

步骤2：计算逆序数

逆序数的定义：在一个排列中，若一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为 $\tau$。

对于倒序排列 $n(n-1)\cdots321$：

• 元素 $n$ 后面比它小小的数有 $n-1$ 个（$(n-1,n-2,\cdots,1)$，贡献 $n-1$ 个逆序；
• 元素 $n-1 后面比它小的数有 \( n-2$ 个$(n-2,\cdots,1)$，贡献 $贡献 \( n-2$ 个逆序；
• ...
• 元素 2 后面比它小的数有 1 1 个$(1)$，贡献 $1$ 个逆序；
• 元素 1 后面没有比它小的数，贡献 $0$ 个逆序。

因此，总逆序数为：
$\tau = (n-1)+(n-2)+\cdots+2+1 = \frac{n(n-1)}{2}$

步骤3：判断排列的奇偶性

排列的奇偶性由逆序数的奇偶性决定：

• 若 $\tau$ 为偶数，则为偶排列；
• 若 $\tau$ 为奇数为奇排列。

题目中答案为“偶排列”，说明 $\(\frac{n(n-1)}{2}$ 必为偶数，即 $n(n-1) \equiv 0 \pmod{4}$（因为 $\frac{n(n-1)}{2}$ 是偶数 ⇨ $n(n-1)$ 是4的倍数）。

原因：$n$ 与 $n-1$ 是相邻整数，必一奇一偶，其中偶数必为2的倍数，要使乘积为4的倍数，偶数需为4的倍数（即 $n \equiv 0$或 $n-1 \equiv 0 \pmod{4}$），此时 $\frac{n(n-1)}{2}$ 为偶数，排列为偶排列。