(11)已知方程 (x)^4-8(x)^3-6(x)^2+24x+a=0 有四个不相同的实根,则a的取值范围为 __

考查要点：本题主要考查利用导数分析多项式函数的极值点，进而确定参数取值范围的能力。关键在于通过导数确定函数的单调性，找到极值点，并结合极值点的函数值判断方程实根的个数。

解题核心思路：

1. 求导分析单调性：通过求导找到函数的极值点，确定函数的增减区间。
2. 极值点函数值分析：根据极值点处的函数值符号，判断曲线与x轴的交点个数。
3. 联立不等式：通过极值点处的函数值符号条件，联立不等式求解参数范围。

破题关键点：

• 导数的正确计算：确保导数的表达式正确，进而准确找到极值点。
• 极值点符号条件：明确极小值点函数值需小于0，极大值点函数值需大于0，才能保证曲线与x轴交叉四次。

步骤1：求导数并确定极值点

原函数为：
$f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a$
求导得：
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$
令 $f'(x) = 0$，解得极值点为 $x_1 = -1$，$x_2 = 1$，$x_3 = 2$。

步骤2：分析单调区间

• 当 $x \in (-\infty, -1)$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；
• 当 $x \in (-1, 1)$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
• 当 $x \in (1, 2)$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；
• 当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。

步骤3：计算极值点处的函数值

• $f(-1) = 3(-1)^4 - 8(-1)^3 - 6(-1)^2 + 24(-1) + a = a - 19$；
• $f(1) = 3(1)^4 - 8(1)^3 - 6(1)^2 + 24(1) + a = 13 + a$；
• $f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 - 6(2)^2 + 24(2) + a = 8 + a$。

步骤4：联立不等式

为使方程有四个不同实根，需满足：

1. 极小值点 $x = -1$ 处函数值小于0：$a - 19 < 0 \Rightarrow a < 19$；
2. 极大值点 $x = 1$ 处函数值大于0：$13 + a > 0 \Rightarrow a > -13$；
3. 极小值点 $x = 2$ 处函数值小于0：$8 + a < 0 \Rightarrow a < -8$。

综合上述条件，得 $-13 < a < -8$。