题目

对于任意随机变量 X 和 Y, 都有 E(XY) = E(X)E(Y)。()A 正确B 错误

对于任意随机变量 X 和 Y, 都有 E(XY) = E(X)E(Y)。()

A 正确

B 错误

题目解答

答案

对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$，等式 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 成立的条件是 $X$ 和 $Y$ 相互独立。若 $X$ 和 $Y$ 不独立，该等式不一定成立。例如，设 $X$ 取值为 1 和 -1（概率均为 0.5），且 $Y = X$，则 $E(X) = E(Y) = 0$，但 $E(XY) = E(X^2) = 1$，此时 $E(XY) \neq E(X)E(Y)$。 因此，原命题错误。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查随机变量数学期望的性质以及随机变量独立性与数学期望乘积关系的知识点。解题思路是明确随机变量数学期望乘积公式 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 成立的条件，然后通过举反例来判断原命题的正确性。

  1. 首先明确公式成立条件：
    • 对于随机变量 $X$ 和 $Y$，等式 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 成立的充分条件是 $X$ 和 $Y$ 相互独立。也就是说，只有当 $X$ 的取值不影响 $Y$ 的取值，$Y$ 的取值也不影响 $X$ 的取值时，该等式才一定成立。
  2. 然后构造反例：
    • 设随机变量 $X$ 取值为 $1$ 和 $- 1$，且取这两个值的概率均为 $P(X = 1)=P(X=-1)=0.5$。
    • 因为 $Y = X$，所以 $Y$ 同样取值为 $1$ 和 $-1$，且 $P(Y = 1)=P(Y=-1)=0.5$。
    • 计算 $E(X)$：
      • 根据数学期望的定义 $E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，这里 $x_1 = 1$，$x_2=-1$，$P(X = 1)=0.5$，$P(X=-1)=0.5$，则 $E(X)=1\times0.5+( - 1)\times0.5=0$。
    • 由于 $Y = X$，所以 $E(Y)=E(X)=0$。
    • 计算 $E(XY)$：
      • 因为 $Y = X$，所以 $XY=X^{2}$。当 $X = 1$ 时，$X^{2}=1$；当 $X=-1$ 时，$X^{2}=1$。
      • 再根据数学期望的定义 $E(XY)=E(X^{2})=\sum_{i}x_{i}^{2}P(X = x_{i})$，这里 $x_1 = 1$，$x_2=-1$，$P(X = 1)=0.5$，$P(X=-1)=0.5$，则 $E(XY)=E(X^{2})=1\times0.5 + 1\times0.5=1$。
    • 此时 $E(XY)=1$，$E(X)E(Y)=0\times0 = 0$，显然 $E(XY)\neq E(X)E(Y)$。
    • 这就说明当 $X$ 和 $Y$ 不独立（这里 $Y$ 完全由 $X$ 决定）时，$E(XY) = E(X)E(Y)$ 不成立，所以原命题“对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$，都有 $E(XY) = E(X)E(Y)$”是错误的。