题目
3.设I=int_(0)^1dxint_(0)^x^(2)f(x,y)dy+int_(1)^2dxint_(0)^2-xf(x,y)dy，则交换积分次序后，I可化为（）A. int_(0)^1dyint_(sqrt(y))^2-yf(x,y)dxB. int_(0)^2dyint_(x^2)^2-xf(x,y)dxC. int_(0)^1dyint_(0)^2f(x,y)dxD. int_(0)^1dyint_(x^2)^2-xf(x,y)dx
3.设$I=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dy+\int_{1}^{2}dx\int_{0}^{2-x}f(x,y)dy$，则交换积分次序后，I可化为（）
A. $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{2-y}f(x,y)dx$
B. $\int_{0}^{2}dy\int_{x^{2}}^{2-x}f(x,y)dx$
C. $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{2}f(x,y)dx$
D. $\int_{0}^{1}dy\int_{x^{2}}^{2-x}f(x,y)dx$
题目解答
答案
A. $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{2-y}f(x,y)dx$
解析
本题考查二重积分交换积分次序的知识点，核心是通过原积分确定积分区域，再根据区域特征改写积分顺序。
步骤1：分析原积分的积分区域
原积分 $I$ 是两个累次积分的和，需分别确定每个积分对应的 $D_1$ 和 $D_2$，再合并为总区域 $D = D_1 \cup D_2$。
区域 $D_1$（对应第一个积分）
第一个积分：$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^2}f(x,y)dy$
- $x$ 的范围：$0 \leq x \leq 1$
- 对每个 $x$，$y$ 的范围：$0 \leq y \leq x^2$
几何意义：由 $y=0$、$x=1$、$y=x^2$ 围成的区域（抛物线下方）。
区域 $D_2$（对应第二个积分）
第二个积分：$\int_{1}^{2}dx\int_{0}^{2-x}f(x,y)dx$
- $x$ 的范围：$1 \leq x \leq 2$
- 对每个 $x$，$y$ 的范围：$0 \leq y \leq 2-x$
几何意义：由 $y=0$、$x=1$、$x=2$、$y=2-x$ 围成的区域（直线下方）。
步骤2：合并区域 $D$ 并确定 $y$ 的范围
观察 $D_1$ 和 $D_2$：
- $D_1$ 中 $y$ 的最大值：当 $x=1$ 时，$y=1^2=1$；
- $D_2$ 中 $y$ 的最大值：当 $x=1$ 时，$y=2-1=1$；
- 两区域在 $y=0$ 到 $y=1$ 之间衔接，无重叠，总区域 $D$ 的 $y$ 范围为 $0 \leq{ \leq y \leq 1$。
步骤3：交换积分次序，确定 $x$ 的范围
对固定的 $y \in [0,1]$，求 $x$ 的范围：
- 下限：在 $D_1$ 中，$y=x^2 \Rightarrow x=\sqrt{y}$（因 $x \geq 0$）；
- 上限：在 $D_2$ 中，$y=2-x \Rightarrow x=2-y$；
因此，$x$ 的范围是 $\sqrt{y} \leq x \leq 2-y$。
步骤4：写出交换后的积分
交换积分次序后：
$I = \int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{2-y}f(x,y)dx$