沿OX轴作直线运动的质点的速度为v=(4+t^2)m cdot s^-1,已知t=3s时,质点位于x=9m处,则该质点的运动学方程为( )A. x=2tB. x=4t+(1)/(2)t^2C. x=4t+(1)/(3)t^3-12D. x=4t+(1)/(3)t^3+12

本题考查的知识点是根据速度与时间的关系求解质点的运动学方程，解题思路是通过对速度函数进行积分得到位移与时间的关系表达式，再利用已知条件确定积分常数。

1. 首先明确速度与位移的关系：
   • 速度$v$是位移$x$对时间$t$的导数，即$v = \frac{dx}{dt}$，那么位移$x$就是速度$v$对时间$t$的积分，$x=\int vdt$。
   • 已知$v=(4 + t^{2})m\cdot s^{-1}$，对其进行积分：
     • 根据积分公式$\int(4 + t^{2})dt=\int 4dt+\int t^{2}dt$。
     • 由积分公式$\int kdt=kt + C_1$（$k$为常数），可得$\int 4dt = 4t$；由积分公式$\int t^{n}dt=\frac{1}{n + 1}t^{n+1}+C_2$（$n\neq - 1$），可得$\int t^{2}dt=\frac{1}{3}t^{3}$。
     • 所以$x=\int(4 + t^{2})dt=4t+\frac{1}{3}t^{3}+C$，其中$C$为积分常数。
2. 然后利用已知条件确定积分常数$C$：
   • 已知$t = 3s$时，$x = 9m$，将$t = 3$，$x = 9$代入$x=4t+\frac{1}{3}t^{3}+C$中。
   • 得到$9=4\times3+\frac{1}{3}\times3^{3}+C$。
   • 先计算等式右边各项的值：$4\times3 = 12$，$\frac{1}{3}\times3^{3}=\frac{1}{3}\times27 = 9$。
   • 则$9=12 + 9+C$。
   • 移项可得$C=9-(12 + 9)=9 - 21=-12$。
3. 最后得到质点的运动学方程：
   • 把$C=-12$代入$x=4t+\frac{1}{3}t^{3}+C$中，得到$x=4t+\frac{1}{3}t^{3}-12$。