求极限 lim _(x arrow +infty)(x+e^x)^(1)/(x).

我们要求极限：

$\lim_{x \to +\infty} \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}}$

第一步：分析极限形式

当 $ x \to +\infty $ 时：

• $ e^x $ 的增长速度远远超过 $ x $，所以 $ x + e^x \sim e^x $，即主要部分是 $ e^x $。
• 因此，底数 $ x + e^x $ 趋向于无穷大，指数 $ \frac{1}{x} $ 趋向于 0。

所以这是一个 $ \infty^0 $ 型的不定式，需要用对数方法处理。

第二步：取对数转化

令：
$y = \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}}$

取自然对数：
$\ln y = \ln \left( \left(x + e^x\right)^{\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} \ln(x + e^x)$

我们先求：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + e^x)}{x}$

第三步：估计 $ \ln(x + e^x) $

由于 $ e^x $ 远大于 $ x $，当 $ x \to +\infty $ 时，有：
$x + e^x = e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$

而 $ \frac{x}{e^x} \to 0 $（因为指数增长快于线性），所以：
$\ln(x + e^x) = \ln\left(e^x \left(1 + \frac{x}{e^x}\right)\right) = \ln(e^x) + \ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right) = x + \ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right)$

由于 $ \frac{x}{e^x} \to 0 $，利用 $ \ln(1 + u) \sim u $ 当 $ u \to 0 $，有：
$\ln\left(1 + \frac{x}{e^x}\right) \sim \frac{x}{e^x} \to 0$

因此：
$\ln(x + e^x) = x + o(1)$

代入原式：
$\frac{\ln(x + e^x)}{x} = \frac{x + o(1)}{x} = 1 + \frac{o(1)}{x} \to 1 \quad (x \to +\infty)$

第四步：还原极限

我们得到：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = 1$

因此：
$\lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e$

最终答案：

$\boxed{e}$