2.下列函数中，在x=0处不可导的是A. f(x) = |x| sin |x|B. f(x) = |x| sin sqrt(x)C. f(x) = cos |x|D. f(x) = cos sqrt(x)

本题考查函数在某点处可导性的判断，解题思路是根据函数可导的定义，通过求函数在$x = 0$处的左导数和右导数，若左导数等于右导数，则函数在该点可导，反之则不可导。

选项A

对于函数$f(x) = |x| \sin |x|$，根据导数定义求$x = 0$处的导数：
$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x| \sin |x| - 0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x| \sin |x|}{x}$
因为$\vert\sin\vert x\vert\vert\leqslant1$，$\lim\limits_{x \to 0}\vert x\vert = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x| \sin |x|}{x}=0$
所以函数$f(x) = |x| \sin |x|$在$x = 0$处可导。

选项B

对于函数$f(x) = |x| \sin \sqrt{x}$，其定义域为$[0, +\infty)$，只能求右导数：
$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{|x| \sin \sqrt{x} - 0}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x \sin \sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+} \sin \sqrt{x}=0$
虽然右导数存在，但由于函数定义域不包含$x\lt0$的部分，无法求左导数，不满足函数在某点可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等，所以函数$f(x) = |x| \sin \sqrt{x}$在$x = 0$处不可导。

选项C

对于函数$f(x) = \cos |x|$，因为$\cos(-x)=\cos x$，所以$f(x)=\cos x$，$f^\prime(x)=-\sin x$，则$f^\prime(0)=-\sin 0 = 0$，函数$f(x) = \cos |x|$在$x = 0$处可导。

选项D

对于函数$f(x) = \cos \sqrt{x}$，其定义域为$[0, +\infty)$，求右导数：
$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\cos \sqrt{x} - 1}{x}$
根据等价无穷小$1 - \cos t\sim\frac{1}{2}t^2$（$t \to 0$），当$x \to 0^+$时，$\sqrt{x} \to 0$，则$\cos \sqrt{x} - 1\sim-\frac{1}{2}(\sqrt{x})^2=-\frac{1}{2}x$，所以：
$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{-\frac{1}{2}x}{x}=-\frac{1}{2}$
右导数存在，虽然定义域不包含$x\lt0$部分，但在其定义域内$x = 0$处右导数存在可认为在该点可导（在单侧区间端点处可导只需考虑单侧导数）。