设 I=iint_(S)(1)/(x^2)+y^(2)mathrm(d)S, S: x^2+y^2=R^2, 0 leq z leq R, 则有().A. I=(pi)/(R)B. I=(2pi)/(R)C. I=2piD. I=pi

本题考查第一类曲面积分的计算。解题思路是先根据曲面$S$的方程确定其参数方程，再利用第一类曲面积分的计算公式将曲面积分转化为二重积分进行计算。

已知曲面$S$的方程为$x^{2}+y^{2}=R^{2}, 0 \leq z \leq R$，可利用柱坐标变换$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$z = z$，此时$dS=\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial\theta})^2+(\frac{\partial y}{\partial\theta})^2+(\frac{\partial z}{\partial\theta})^2}d\theta dz$。

• 步骤一：计算$dS$
  对$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$z = z$分别求偏导数：
  $\frac{\partial x}{\partial\theta}=-R\sin\theta$，$\frac{\partial y}{\partial\theta}=R\cos\theta$，$\frac{\partial z}{\partial\theta}=0$。
  将其代入$dS$的公式可得：
  $dS=\sqrt{(-R\sin\theta)^2+(R\cos\theta)^2+0^2}d\theta dz=\sqrt{R^2\sin^2\theta+R^2\cos^2\theta}d\theta dz$
  根据三角函数的平方关系$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$，则$dS = R d\theta dz$。
• 步骤二：确定积分限
  由$0 \leq z \leq R$，$0\leq\theta\leq 2\pi$，可得积分区域$D$为$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq R$。
• 步骤三：将曲面积分转化为二重积分并计算
  将$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$dS = R d\theta dz$代入$I=\iint_{S}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\mathrm{d}S$可得：
  $I=\iint_{D}\frac{1}{R^2\cos^2\theta+R^2\sin^2\theta}\cdot R d\theta dz$
  因为$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$，所以$I=\iint_{D}\frac{1}{R^2}\cdot R d\theta dz=\frac{1}{R}\iint_{D} d\theta dz$。
  $\frac{1}{R}\iint_{D} d\theta dz=\frac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}dz$
  先计算$\int_{0}^{R}dz$：
  $\int_{0}^{R}dz=z\big|_{0}^{R}=R - 0 = R$
  再计算$\int_{0}^{2\pi}d\theta$：
  $\int_{0}^{2\pi}d\theta=\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi - 0 = 2\pi$
  将上述结果代入可得：
  $I=\frac{1}{R}\times 2\pi\times R = 2\pi$