试确定A，B，C的值，使得e^x(1+Bx+Cx^2)=1+Ax+o(x^3)，其中o(x^3)是当xarrow 0时比x^3高阶的无穷小.

利用皮亚诺型泰勒公式可得：

$e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)$，

代入已知等式得：

$\left[1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)\right]\left(1+bx+Cx^{2}\right)=1+Ax+o\left(x^{3}\right)$，

整理得：

$1+\left(B+1\right)x+\left(C+B+\dfrac{1}{2}\right)x^{2}+\left(\dfrac{B}{2}+C+\dfrac{1}{6}\right)+o\left(x^{3}\right)=1+Ax+o\left(x^{3}\right)$，

比较两边同次幂函数得：

$B+1=A     $①

$C+B+\dfrac{1}{2}=0   $②

$\dfrac{B}{2}+C+\dfrac{1}{6}=0 $③

式②$-$③得：

$\dfrac{B}{2}+\dfrac{1}{3}=0$，

则：$B=-\dfrac{2}{3}$，

代入①得：$A=\dfrac{1}{3}$，

代入②得：$C=\dfrac{1}{6}$.

故：$A=\dfrac{1}{3}$，$B=-\dfrac{2}{3}$，$C=\dfrac{1}{6}$.