题目
微分方程x^2y`+xy= y^2, y|x=1=1 的特解为A x^2y`+xy= y^2, y|x=1=1 B x^2y`+xy= y^2, y|x=1=1C x^2y`+xy= y^2, y|x=1=1D x^2y`+xy= y^2, y|x=1=1
微分方程
的特解为
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
∵
，
设
,
,
∴
两边同时积分得到：
∴
∴
∴
,
∴
∴特解为:
故答案选择B
解析
步骤 1：将微分方程转换为可分离变量的形式
原方程为${x}^{2}y'+xy={y}^{2}$，可以改写为$y'+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}$。这是一个伯努利方程，可以通过变量替换$u=\dfrac {y}{x}$来简化。
步骤 2：进行变量替换
设$u=\dfrac {y}{x}$，则$y=ux$，$y'=u'x+u$。将$y$和$y'$代入原方程，得到$u'x+u+\dfrac {ux}{x}=\dfrac {(ux)^{2}}{{x}^{2}}$，简化后得到$u'x+2u=u^{2}$。
步骤 3：分离变量并积分
将方程$u'x+2u=u^{2}$改写为$\dfrac {du}{u^{2}-2u}=\dfrac {dx}{x}$，然后对两边积分，得到$\int \dfrac {du}{u^{2}-2u}=\int \dfrac {dx}{x}$。左边的积分可以通过部分分式分解来完成，得到$-\dfrac {1}{2}\int (\dfrac {1}{u}-\dfrac {1}{u-2})du=\ln x+\ln c$。
步骤 4：求解积分并代入初始条件
积分后得到$-\dfrac {1}{2}\ln u+\dfrac {1}{2}\ln (u-2)=\ln cx$，即$\dfrac {u-2}{u}=c{x}^{2}$。代入$u=\dfrac {y}{x}$，得到$1-\dfrac {2x}{y}=c{x}^{2}$。根据初始条件$y{|}_{x=1}=1$，代入得到$1-2=c$，解得$c=-1$。
步骤 5：写出特解
将$c=-1$代入$1-\dfrac {2x}{y}=c{x}^{2}$，得到$1-\dfrac {2x}{y}=-{x}^{2}$，即$(1+{x}^{2})y=2x$。
原方程为${x}^{2}y'+xy={y}^{2}$，可以改写为$y'+\dfrac {y}{x}=\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}$。这是一个伯努利方程，可以通过变量替换$u=\dfrac {y}{x}$来简化。
步骤 2：进行变量替换
设$u=\dfrac {y}{x}$，则$y=ux$，$y'=u'x+u$。将$y$和$y'$代入原方程，得到$u'x+u+\dfrac {ux}{x}=\dfrac {(ux)^{2}}{{x}^{2}}$，简化后得到$u'x+2u=u^{2}$。
步骤 3：分离变量并积分
将方程$u'x+2u=u^{2}$改写为$\dfrac {du}{u^{2}-2u}=\dfrac {dx}{x}$，然后对两边积分，得到$\int \dfrac {du}{u^{2}-2u}=\int \dfrac {dx}{x}$。左边的积分可以通过部分分式分解来完成，得到$-\dfrac {1}{2}\int (\dfrac {1}{u}-\dfrac {1}{u-2})du=\ln x+\ln c$。
步骤 4：求解积分并代入初始条件
积分后得到$-\dfrac {1}{2}\ln u+\dfrac {1}{2}\ln (u-2)=\ln cx$，即$\dfrac {u-2}{u}=c{x}^{2}$。代入$u=\dfrac {y}{x}$，得到$1-\dfrac {2x}{y}=c{x}^{2}$。根据初始条件$y{|}_{x=1}=1$，代入得到$1-2=c$，解得$c=-1$。
步骤 5：写出特解
将$c=-1$代入$1-\dfrac {2x}{y}=c{x}^{2}$，得到$1-\dfrac {2x}{y}=-{x}^{2}$，即$(1+{x}^{2})y=2x$。