题目

【例3.5】(练习)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件.现从中随机抽取一件，记X_(i)=}1,&抽到i等品,0,&其他,(i=1,2,3)求:(I)随机变量X_(1)与X_(2)的联合分布律和边缘分布律;(II)判断X_(1)与X_(2)的独立性.

【例3.5】(练习)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件.现从中随机抽取一件，记 $X_{i}=\begin{cases}1,&抽到i等品,\\0,&其他,\end{cases}(i=1,2,3)$ 求:(I)随机变量$X_{1}$与$X_{2}$的联合分布律和边缘分布律; (II)判断$X_{1}$与$X_{2}$的独立性.

题目解答

答案

（I）联合分布律和边缘分布律
联合分布律：
$\boxed{ \begin{array}{cc} \hline X_1 \backslash X_2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0.1 & 0.1 \\ 1 & 0.8 & 0 \\ \hline \end{array} }$
边缘分布律：
$\boxed{ \begin{array}{cc} \hline X_1 & 0 & 1 \\ \hline P & 0.2 & 0.8 \\ \hline \end{array} }$
$\boxed{ \begin{array}{cc} \hline X_2 & 0 & 1 \\ \hline P & 0.9 & 0.1 \\ \hline \end{array} }$

（II）独立性
$X_1$ 与 $X_2$ 不独立（因 $P(X_1=0, X_2=0) \neq P(X_1=0)P(X_2=0)$）。

$\boxed{\text{不独立}}$

解析

本题主要考查离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律的计算以及随机变量独立性的判断。解题思路如下：

（I）求随机变量$X_{1}$与$X_{2}$的联合分布律和边缘分布律

  • 联合分布律：联合分布律是指两个随机变量$X_1$和$X_2$取不同值时的概率$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2)$。我们需要分别计算$(X_1, X_2)$取$(0, 0)$、$(0, 1)$、$(1, 0)$、$(1, 1)$这四种情况的概率。
    • $P(X_1 = 0, X_2 = 0)$：表示既没有抽到一等品也没有抽到二等品，那么抽到的是三等品。已知三等品有$10$件，总产品数为$100$件，根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$m$是事件$A$包含的基本事件个数，$n$是基本事件总数），可得$P(X_1 = 0, X_2 = 0)=\frac{10}{100}=0.1$。
    • $P(X_1 = 0, X_2 = 1)$：表示没有抽到一等品但抽到了二等品。已知二等品有$10$件，总产品数为$100$件，所以$P(X_1 = 0, X_2 = 1)=\frac{10}{100}=0.1$。
    • $P(X_1 = 1, X_2 = 0)$：表示抽到了一等品但没有抽到二等品。已知一等品有$80$件，总产品数为$100$件，因此$P(X_1 = 1, X_2 = 0)=\frac{80}{100}=0.8$。
    • $P(X_1 = 1, X_2 = 1)$：由于一件产品不可能既是一等品又是二等品，所以$P(X_1 = 1, X_2 = 1)=0$。
  • 边缘分布律：边缘分布律是指单个随机变量的分布律。对于$X_1$的边缘分布律$P(X_1 = x_1)$，可以通过对联合分布律中$X_2$的所有可能取值对应的概率求和得到；同理，对于$X_2$的边缘分布律$P(X_2 = x_2)$，可以通过对联合分布律中$X_1$的所有可能取值对应的概率求和得到。
    • $X_1$的边缘分布律：
      • $P(X_1 = 0)=P(X_1 = 0, X_2 = 0)+P(X_1 = 0, X_2 = 1)=0.1 + 0.1 = 0.2$。
      • $P(X_1 = 1)=P(X_1 = 1, X_2 = 0)+P(X_1 = 1, X_2 = 1)=0.8 + 0 = 0.8$。
    • $X_2$的边缘分布律：
      • $P(X_2 = 0)=P(X_1 = 0, X_2 = 0)+P(X_1 = 1, X_2 = 0)=0.1 + 0.8 = 0.9$。
      • $P(X_2 = 1)=P(X_1 = 0, X_2 = 1)+P(X_1 = 1, X_2 = 1)=0.1 + 0 = 0.1$。

（II）判断$X_{1}$与$X_{2}$的独立性

判断两个离散型随机变量$X_1$和$X_2$是否独立，需要验证对于所有的$x_1$和$x_2$，是否都有$P(X_1 = x_1, X_2 = x_2)=P(X_1 = x_1)P(X_2 = x_2)$成立。如果存在一组$(x_1, x_2)$使得该等式不成立，则$X_1$和$X_2$不独立。
我们取$x_1 = 0$，$x_2 = 0$，计算$P(X_1 = 0)P(X_2 = 0)=0.2\times0.9 = 0.18$，而$P(X_1 = 0, X_2 = 0)=0.1$，因为$P(X_1 = 0, X_2 = 0) \neq P(X_1 = 0)P(X_2 = 0)$，所以$X_1$与$X_2$不独立。