题目

【例2】lim_(xto0)((1+x)^frac(1)/(x)-e)(x)=_.

【例2】$\lim_{x\to0}\frac{\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\_.$

题目解答

答案

设 $y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$。利用泰勒展开式 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，得 \[ \ln y = \frac{x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2). \] 因此， \[ y = e^{\ln y} = e^{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)} = e \left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right). \] 所以， \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e \left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right) - e}{x} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{e}{2} + O(x)\right) = -\frac{e}{2}. \] **答案：** $\boxed{-\frac{e}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，以及对指数函数和对数函数的展开技巧。关键在于将复杂的表达式展开到适当的阶数，从而简化极限计算。

解题核心思路：

  1. 变量代换：将$(1+x)^{1/x}$设为$y$，通过取对数转化为更易处理的形式。
  2. 泰勒展开：对$\ln(1+x)$展开到二次项，进而展开指数函数$e^{\ln y}$，保留到一次项。
  3. 化简极限：通过展开后的表达式，将原极限转化为多项式形式，直接求出结果。

破题关键点：

  • 正确展开$\ln(1+x)$：保留到$x^2$项，确保后续展开的精度。
  • 指数函数的展开：将$e^{1 - x/2 + O(x^2)}$展开到一次项，忽略高阶小项。
  • 分子化简：通过展开后的表达式，提取$x$的系数，得到最终结果。

步骤1：变量代换与对数处理
设$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得：
$\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}.$

步骤2：泰勒展开$\ln(1+x)$
利用泰勒展开式$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，代入得：
$\ln y = \frac{x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2).$

步骤3：指数函数展开
将$\ln y$代入指数函数：
$y = e^{\ln y} = e^{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)}.$
进一步展开$e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)}$到一次项：
$e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)} \approx 1 - \frac{x}{2} + O(x^2).$
因此：
$y \approx e \left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right).$

步骤4：化简原极限表达式
分子部分$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e$可表示为：
$e \left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right) - e = -\frac{e x}{2} + O(x^2).$
代入原极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{e x}{2} + O(x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{e}{2} + O(x)\right) = -\frac{e}{2}.$