题目

若随机变量X与Y不相关，则下列结论正确的是（）A E(XY)=0B D(X+Y)=D(X)-D(Y)C Cov(X,Y)=0D X与Y相互独立

若随机变量X与Y不相关，则下列结论正确的是（） A E(XY)=0 B D(X+Y)=D(X)-D(Y) C Cov(X,Y)=0 D X与Y相互独立

题目解答

答案

随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。根据协方差定义：
$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \implies E(XY) = E(X)E(Y)$
选项分析：

  • A：$E(XY) = 0$
    仅当 $E(X) = 0$ 或 $E(Y) = 0$ 时成立，题目无此条件，错误。
  • B：$D(X + Y) = D(X) - D(Y)$
    由方差性质 $D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$，不相关时 $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$，错误。
  • C：$\text{Cov}(X, Y) = 0$
    符合不相关定义，正确。
  • D：$X$ 与 $Y$ 相互独立
    不相关不一定独立，错误。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查随机变量不相关的概念、协方差的定义、方差的性质以及随机变量不相关与相互独立的关系。解题思路是根据随机变量不相关的定义和相关性质，对每个选项逐一进行分析判断。

  1. 分析选项A：
    • 已知随机变量$X$与$Y$不相关，根据协方差的定义$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$，可得$E(XY) = E(X)E(Y)$。
    • 仅当$E(X) = 0$或$E(Y) = 0$时，$E(XY) = 0$才成立，但题目中并没有给出$E(X) = 0$或$E(Y) = 0$这个条件，所以不能得出$E(XY) = 0$，选项A错误。
  2. 分析选项B：
    • 根据方差的性质，对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$。
    • 因为$X$与$Y$不相关，即$\text{Cov}(X, Y) = 0$，所以$D(X + Y) = D(X) + D(Y)$，而不是$D(X + Y) = D(X) - D(Y)$，选项B错误。
  3. 分析选项C：
    • 随机变量$X$与$Y$不相关的定义就是$\text{Cov}(X, Y) = 0$，所以选项C正确。
  4. 分析选项D：
    • 随机变量不相关只是说明它们之间不存在线性关系，但不相关并不一定意味着相互独立。相互独立是指一个随机变量的取值不影响另一个随机变量的取值概率，这是一个比不相关更强的条件。所以不能由$X$与$Y$不相关得出$X$与$Y$相互独立，选项D错误。