设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．(1)求a的值；(2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

(1)由于α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表出，所以β₁，β₂，β₃线性相关(因为任意n+1个n维向量线性相关，从而β₁，β₂，β₃，α_i(i=1，2，3)线性相关，若β₁，β₂，β₃线性无关，则α_i可由β₁，β₂，β₃线性表示，从而|β₁，β₂，β₃|=0，而|β1，β2，β3|＝

.

1 1 3 1 2 4 1 3 a

.

＝

.

1 1 3 0 1 1 0 2 a−3

.

＝a−5，故可解得a=5
(2)设(β₁，β₂，β₃)=(α₁，α₂，α₃)A，由于|α1，α2，α3|＝

.

1 0 1 0 1 3 1 1 5

.

＝1≠0，所以α₁，α₂，α₃线性无关．则A＝(α1，α2，α3)−1(β1，β2，β3)
而(α1，α2，α3)−1＝

2 1 −1 3 4 −3 −1 −1 1

，从而A＝

2 1 −1 3 4 −3 −1 −1 1

1 1 3 1 2 4 1 3 5

＝

2 1 5 4 2 10 −1 0 −2

因此β₁=2α₁+4α₂-α₃，β₂=α₁+2α₂，β₃=5α₁+10α₂-2α₃．