24.单选题(0.5分) _当 x arrow 0,e^x-1 的等价无穷小是()A. x^2B. XC. 1D. 0

本题考查等价无穷小的概念及常见等价无穷小的应用。解题思路是根据等价无穷小的定义，判断当$x \rightarrow 0$时，$e^{x}-1$与各个选项的比值的极限是否为$1$，若为$1$，则它们是等价无穷小。

选项A

计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x^{2}}$，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，分子求导为$(e^{x}-1)^\prime=e^{x}$，分母求导为$(x^{2})^\prime = 2x$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2x}$，当$x \to 0$时，分子$e^{x} \to 1$，分母$2x \to 0$，此极限为无穷大，所以$e^{x}-1$与$x^{2}$不是等价无穷小。

选项B

计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}$，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，分子求导为$(e^{x}-1)^\prime=e^{x}$，分母求导为$(x)^\prime = 1$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1}$，将$x = 0$代入$\frac{e^{x}}{1}$，可得$\frac{e^{0}}{1}=\frac{1}{1}=1$，所以当$x \rightarrow 0$时，$e^{x}-1$与$x$是等价无穷小。

选项C

计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{1}$，将$x = 0$代入$\frac{e^{x}-1}{1}$，可得$\frac{e^{0}-1}{1}=\frac{1 - 1}{1}=0\neq1$，所以$e^{x}-1$与$1$不是等价无穷小。

选项D

计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{0}$，分母为$0$，此极限无意义，所以$e^{x}-1$与$0$不是等价无穷小。