例4.17 设随机变量X与Y分别表示两个电子元件的寿命(千小时),已知(X,Y)的联合分布函-|||-数为-|||-F(x,y)= ) 1-(e)^-0.5x-(e)^-0.5y+(e)^-0.5(x+y) 0, . , gt 0 gt 0,-|||-其他.-|||-(1)判断X与Y的独立性;-|||-(2)求二维随机变量(X,Y)的概率密度;-|||-(3)求2个元件都可以使用100个小时的概率.

本题主要考查二维随机变量的独立性判断、概率密度的求解以及利用分布函数或概率密度计算概率，解题思路如下：

（1）判断$X$与$Y$的独立性

• 方法一：通过边缘分布函数判断
  • 首先，根据边缘分布函数的定义，$X$的边缘分布函数$F_X(x)=F(x,+\infty)$，$Y$的边缘分布函数$F_Y(y)=F(+\infty,y)$。
  • 对于$F_X(x)$，当$x\gt0$时，$F_X(x)=\lim\limits_{y \to +\infty} (1 - e^{-0.5x} - e^{-0.5y} + e^{-0.5(x + y)})$，因为$\lim\limits_{y \to +\infty} e^{-0.5y}=0$，$\lim\limits_{y \to +\infty} e^{-0.5(x + y)}=0$，所以$F_X(x)=1 - e^{-0.5x}$；当$x\leqslant0$时，$F_X(x)=0$。
  • 对于$F_Y(y)$，当$y\gt0$时，$F_Y(y)=\lim\limits_{x \to +\infty} (1 - e^{-0.5x} - e^{-0.5y} + e^{-0.5(x + y)})$，因为$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-0.5x}=0$，$\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-0.5(x + y)}=0$，所以$F_Y(y)=1 - e^{-0.5y}$；当$y\leqslant0$时，$F_Y(y)=0$。
  • 然后判断$F(x,y)$是否等于$F_X(x)F_Y(y)$，当$x\gt0,y\gt0$时，$F_X(x)F_Y(y)=(1 - e^{-0.5x})(1 - e^{-0.5y})=1 - e^{-0.5x} - e^{-0.5y} + e^{-0.5(x + y)}=F(x,y)$，其他情况$F_X(x)F_Y(y)=0=F(x,y)$，所以$X$与$Y$相互独立。
• 方法二：通过概率密度和边缘概率密度判断
  • 先求二维随机变量$(X,Y)$的概率密度$f(x,y)$，根据公式$f(x,y)=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}$。
    当$x\gt0,y\gt0$时，$\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}(1 - e^{-0.5x} - e^{-0.5y} + e^{-0.5(x + y)})\right)$
    $\frac{\partial}{\partial y}(1 - e^{-0.5x} - e^{-0.5y} + e^{-0.5(x + y)}) = 0.5e^{-0.5y}-0.5e^{-0.5(x + y)}$
    $\frac{\partial}{\partial x}(0.5e^{-0.5y}-0.5e^{-0.5(x + y)}) = 0.25e^{-0.5(x + y)}$
    当$x\leqslant0$或$y\leqslant0$时，$f(x,y)=0$，所以$f(x,y)=\begin{cases}0.25e^{-0.5(x + y)}, & x\gt0,y\gt0 \\ 0, & 其他\end{cases}$
  • 再求$X$的边缘概率密度$f_X(x)$，$f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx}$（也可通过$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$计算）。
    当$x\gt0$时，$f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}0.25e^{-0.5(x + y)}dy = 0.25e^{-0.5x}\int_{0}^{+\infty}e^{-0.5y}dy$，令$u = -0.5y$，$du=-0.5dy$，则$\int_{0}^{+\infty}e^{-0.5y}dy=-2\int_{0}^{-\infty}e^{u}du = 2$，所以$f_X(x)=0.5e^{-0.5x}$；当$x\leqslant0$时，$f_X(x)=0$，即$f_X(x)=\begin{cases}0.5e^{-0.5x}, & x\gt0 \\ 0, & 其他\end{cases}$
  • 同理求$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$，$f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}$（也可通过$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$计算）。
    当$y\gt0$时，$f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}0.25e^{-0.5(x + y)}dx = 0.25e^{-0.5y}\int_{0}^{+\infty}e^{-0.5x}dx = 0.5e^{-0.5y}$；当$y\leqslant0$时，$f_Y(y)=0$，即$f_Y(y)=\begin{cases}0.5e^{-0.5y}, & y\gt0 \\ 0, & 其他\end{cases}$
  • 最后判断$f(x,y)$是否等于$f_X(x)f_Y(y)$，当$x\gt0,y\gt0$时，$f_X(x)f_Y(y)=0.5e^{-0.5x}\times0.5e^{-0.5y}=0.25e^{-0.5(x + y)}=f(x,y)$，其他情况$f_X(x)f_Y(y)=0=f(x,y)$，所以$X$与$Y$相互独立。

（2）求二维随机变量$(X,Y)$的概率密度

由（1）方法二已求得二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}0.25e^{-0.5(x + y)}, & x\gt0,y\gt0 \\ 0, & 其他\end{cases}$

（3）求$2$个元件都可以使用$100$个小时的概率

因为$100$小时$= 0.1$千小时，所以求$P\{X\gt0.1,Y\gt0.1\}$。

• 方法一：利用独立性和边缘分布函数计算
  由于$X$与$Y$相互独立，所以$P\{X\gt0.1,Y\gt0.1\}=P\{X\gt0.1\}P\{Y\gt0.1\}$。
  $P\{X\gt0.1\}=1 - P\{X\leqslant0.1\}=1 - F_X(0.1)=1-(1 - e^{-0.5\times0.1})=e^{-0.05}$
  同理$P\{Y\gt0.1\}=e^{-0.05}$，所以$P\{X\gt0.1,Y\gt0.1\}=e^{-0.05}\times e^{-0.05}=e^{-0.1}$
• 方法二：利用概率密度计算
  $P\{X\gt0.1,Y\gt0.1\}=\int_{0.1}^{+\infty}\int_{0.1}^{+\infty}0.25e^{-0.5(x + y)}dxdy$
  $=\int_{0.1}^{+\infty}0.25e^{-0.5y}\left(\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5x}dx\right)dy$
  先计算$\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5x}dx$，令$u = -0.5x$，$du=-0.5dx$，则$\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5x}dx=-2\int_{-0.05}^{-\infty}e^{u}du = 2e^{-0.05}$
  所以$\int_{0.1}^{+\infty}0.25e^{-0.5y}\left(\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5x}dx\right)dy=\int_{0.1}^{+\infty}0.25e^{-0.5y}\times2e^{-0.05}dy$
  $=0.5e^{-0.05}\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5y}dy$，又$\int_{0.1}^{+\infty}e^{-0.5y}dy = 2e^{-0.05}$
  所以$P\{X\gt0.1,Y\gt0.1\}=0.5e^{-0.05}\times2e^{-0.05}=e^{-0.1}$