题目
一半径为 R=10(cm) 的均匀带电球面，其电荷面密度为 sigma = 3.54 times 10^-10 (C)/(m^2)。若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电势 U= ____ V。
一半径为 $R=10\text{cm}$ 的均匀带电球面，其电荷面密度为 $\sigma = 3.54 \times 10^{-10} \frac{C}{m^2}$。若规定无穷远处为电势零点，则该球面上的电势 $U=$ \_\_\_\_ V。
题目解答
答案
根据题意，总电荷量为：
\[
Q = \sigma \times 4\pi R^2 = 3.54 \times 10^{-10} \times 0.04\pi \approx 4.45 \times 10^{-11} \, \text{C}
\]
球面上的电势为：
\[
U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R} = 9 \times 10^9 \times \frac{4.45 \times 10^{-11}}{0.1} = 4.005 \, \text{V}
\]
最终结果为：
\[
U \approx 4.0 \, \text{V}
\]
答案：$ U \approx 4.0 \, \text{V} $。
解析
本题考查均匀带电球面的电势计算，解题思路如下：
- 首先，根据电荷面密度和球面面积的关系求出均匀带电球面的总电荷量 $Q$。
- 已知电荷面密度为 $\sigma$，球面面积公式为 $S = 4\pi R^{2}$，根据总电荷量等于电荷面密度乘以面积，可得总电荷量 $Q=\sigma S=\sigma\times4\pi R^{2}$。
- 已知 $R = 10\text{cm}=0.1\text{m}$，$\sigma = 3.54\times 10^{-10}\frac{C}{m^{2}}$，将其代入公式可得：
$\begin{align*}Q&=3.54\times 10^{-10}\times4\pi\times(0.1)^{2}\\&=3.54\times 10^{-10}\times0.04\pi\\&\approx 3.54\times 10^{-10}\times0.04\times3.14\\&=4.45\times 10^{-11}\text{C}\end{align*}$
- 然后，根据均匀带电球面在球面上的电势公式 $U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}$ 计算球面上的电势 $U$。
- 其中 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 9\times 10^{9}\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$，$Q = 4.45\times 10^{-11}\text{C}$，$R = 0.1\text{m}$，将这些值代入公式可得：
$\begin{align*}U&=9\times 10^{9}\times\frac{4.45\times 10^{-11}}{0.1}\\&=9\times 10^{9}\times4.45\times 10^{-10}\\&=(9\times4.45)\times(10^{9}\times10^{-10})\\&=40.05\times10^{-1}\\&= 4.005\text{V}\end{align*}$
- 其中 $\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 9\times 10^{9}\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$，$Q = 4.45\times 10^{-11}\text{C}$，$R = 0.1\text{m}$，将这些值代入公式可得：
- 最后，按照题目要求对结果进行近似处理，保留一位小数，可得 $U\approx4.0\text{V}$。