2.（5.0分）如果向量组Y_(1)^'(x)，Y_(2)^'(x)，…，Y_(n)^'(x)的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零，则向量组Y_(1)^'(x)，Y_(2)^'(x)，…，Y_(n)^'(x)在区间I上线性相关A 对B 错A. 对B. 错

本题考查向量组线性相关与朗斯基行列式的关系。解题的关键在于明确朗斯基行列式恒为零与向量组线性相关之间并非简单的等价关系，需要通过反例来判断该命题的真假。

详细分析

已知向量组$Y_{1}^{'}(x)$，$Y_{2}^{'}(x)$，$\cdots$，$Y_{n}^{'}(x)$的朗斯基行列式$W(x)$在区间$I$上恒等于零。
根据线性相关的定义，如果存在不全为零的常数$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$，使得对于区间$I$上的任意$x$，都有$c_1Y_{1}^{'}(x)+c_2Y_{2}^{'}(x)+\cdots +c_nY_{n}^{'}(x)=0$，则称向量组$Y_{1}^{'}(x)$，$Y_{2}^{'}(x)$，$\cdots$，$Y_{n}^{'}(x)$在区间$I$上线性相关。
然而，朗斯基行列式$W(x)$恒为零并不能直接推出向量组线性相关。我们可以通过一个反例来证明：
考虑两个函数$Y_1(x)=x^2$，$Y_2(x)=x|x|$，在区间$(-\infty,+\infty)$上。
先求它们的导数：
当$x\geq0$时，$Y_1^\prime(x) = 2x$，$Y_2^\prime(x)=2x$；
当$x\lt0$时，$Y_1^\prime(x) = 2x$，$Y_2^\prime(x)= - 2x$。
它们的朗斯基行列式$W(x)=\begin{vmatrix}Y_1^\prime(x)&Y_2^\prime(x)\\Y_1^{\prime\prime}(x)&Y_2^{\prime\prime}(x)\end{vmatrix}$。
求二阶导数：当$x\neq0$时，$Y_1^{\prime\prime}(x) = 2$，$Y_2^{\prime\prime}(x)=\begin{cases}2, & x\gt0 \\ -2, & x\lt0\end{cases}$。
当$x\geq0$时，$W(x)=\begin{vmatrix}2x&2x\\2&2\end{vmatrix}=2x\times2 - 2x\times2 = 0$；
当$x\lt0$时，$W(x)=\begin{vmatrix}2x& - 2x\\2& - 2\end{vmatrix}=2x\times(-2)-(-2x)\times2 = 0$。
即$W(x)$在$(-\infty,+\infty)$上恒为零。
下面用反证法证明$Y_1^\prime(x)$，$Y_2^\prime(x)$线性无关。
假设存在常数$c_1$，$c_2$，使得$c_1Y_1^\prime(x)+c_2Y_2^\prime(x)=0$对任意$x\in(-\infty,+\infty)$成立。
当$x\gt0$时，$c_1\times2x + c_2\times2x = 0$，即$2(c_1 + c_2)x = 0$，因为$x\gt0$，所以$c_1 + c_2 = 0$；
当$x\lt0$时，$c_1\times2x + c_2\times(-2x) = 0$，即$2(c_1 - c_2)x = 0$，因为$x\lt0$，所以$c_1 - c_2 = 0$。
联立$\begin{cases}c_1 + c_2 = 0\\c_1 - c_2 = 0\end{cases}$，解得$c_1 = c_2 = 0$。
这说明$Y_1^\prime(x)$，$Y_2^\prime(x)$线性无关。
所以，当向量组$Y_{1}^{'}(x)$，$Y_{2}^{'}(x)$，$\cdots$，$Y_{n}^{'}(x)$的朗斯基行列式$W(x)$在$I$上恒等于零时，向量组不一定线性相关，该命题错误。