10.(1995.Ⅲ)设 ((x)^2-1)=ln dfrac ({x)^2}({x)^2-2}, 且 [ varphi (x)] =ln x, 求 (int )_(varphi (x)dx)..

考查要点：本题主要考查函数的复合与反解，以及分式函数的积分方法。
解题思路：

1. 确定函数$f$的表达式：通过变量替换，将已知的$f(x^2 -1)$转化为关于$t = x^2 -1$的表达式，从而得到$f(t)$。
2. 求解$\varphi(x)$：利用$f[\varphi(x)] = \ln x$，代入$f$的表达式，解分式方程得到$\varphi(x)$。
3. 积分计算：将$\varphi(x)$分解为简单分式，利用积分公式求解。

破题关键：

• 变量替换是确定$f(x)$的核心步骤。
• 分式方程的解法需注意交叉相乘和代数变形。
• 分式分解简化积分过程，避免复杂计算。

步骤1：确定函数$f(x)$的表达式

设$t = x^2 - 1$，则$x^2 = t + 1$。代入原式：
$f(t) = \ln \frac{t + 1}{(t + 1) - 2} = \ln \frac{t + 1}{t - 1}$
因此，$f(x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1}$。

步骤2：求解$\varphi(x)$

由$f[\varphi(x)] = \ln x$，代入$f$的表达式：
$\ln \frac{\varphi(x) + 1}{\varphi(x) - 1} = \ln x$
去掉对数得：
$\frac{\varphi(x) + 1}{\varphi(x) - 1} = x$
交叉相乘并整理：
$\varphi(x) + 1 = x(\varphi(x) - 1) \implies \varphi(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

步骤3：计算$\int \varphi(x) \, dx$

将$\varphi(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$分解为：
$\frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$
积分得：
$\int \varphi(x) \, dx = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{1}{x - 1} \, dx = x + 2 \ln |x - 1| + C$