19.设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k，p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

本题考查向量的线性运算、向量在坐标轴上的投影以及向量在坐标轴上的分向量的知识。解题思路是先根据向量的数乘和加减运算法则求出向量$a = 4m + 3n - p$的表达式，再根据向量在坐标轴上投影和分向量的定义分别求出向量$a$在$x$轴上的投影及在$y$轴上的分向量。

1. 计算$4m$、$3n$和$-p$：
   已知$m = 3i + 5j + 8k$，根据向量数乘的分配律$\lambda(\vec{A})=\lambda A_x\vec{i}+\lambda A_y\vec{j}+\lambda A_z\vec{k}$（其中$\lambda$为常数，$\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}$），可得：
   $4m = 4\times(3i + 5j + 8k)=4\times3i + 4\times5j + 4\times8k = 12i + 20j + 32k$
   已知$n = 2i - 4j - 7k$，同理可得：
   $3n = 3\times(2i - 4j - 7k)=3\times2i + 3\times(-4)j + 3\times(-7)k = 6i - 12j - 21k$
   已知$p = 5i + j - 4k$，则：
   $-p = -(5i + j - 4k)= -5i - j + 4k$
2. 计算向量$a$：
   根据向量加法的分配律$\vec{A}+\vec{B}=(A_x + B_x)\vec{i}+(A_y + B_y)\vec{j}+(A_z + B_z)\vec{k}$，可得：
   $a = 4m + 3n - p=(12i + 20j + 32k)+(6i - 12j - 21k)+(-5i - j + 4k)$
   $=(12 + 6 - 5)i + (20 - 12 - 1)j + (32 - 21 + 4)k$
   $= 13i + 7j + 15k$
3. 求向量$a$在$x$轴上的投影：
   向量$\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}$在$x$轴上的投影为$A_x$，所以向量$a = 13i + 7j + 15k$在$x$轴上的投影为$13$。
4. 求向量$a$在$y$轴上的分向量：
   向量$\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}$在$y$轴上的分向量为$A_y\vec{j}$，所以向量$a = 13i + 7j + 15k$在$y$轴上的分向量为$7j$。