题目
lim _(x arrow 0) (x^2+2)/(x^2)+x= ( )A. 1B. inftyC. 2D. 0
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2}{x^{2}+x}=$ ( )
A. 1
B. $\infty$
C. 2
D. 0
题目解答
答案
B. $\infty$
解析
本题考查函数极限的计算。解题思路是先判断当$x\to0$时，函数$\frac{x^{2}+2}{x^{2}+x}$的分子分母的极限情况，若分母极限为$0$，分子极限不为$0$，则可根据极限的性质判断该函数极限为无穷大。
- 分别计算分子分母在$x\to0$时的极限：
- 计算分子$x^{2}+2$在$x\to0$时的极限，根据极限的加法法则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x)+\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可得$\lim\limits_{x\to 0}(x^{2}+2)=\lim\limits_{x\to 0}x^{2}+\lim\limits_{x\to 0}2$。
- 对于$\lim\limits_{x\to 0}x^{2}$，根据幂函数极限性质$\lim\limits_{x\to a}x^n=a^n$（$n$为正整数），可得$\lim\limits_{x\to 0}x^{2}=0^2 = 0$。
- 常数的极限就是其本身，所以$\lim\limits_{x\to 0}2 = 2$。
- 则$\lim\limits_{x\to 0}(x^{2}+2)=0 + 2 = 2$。
- 计算分母$x^{2}+x$在$x\to0$时的极限，同样根据极限的加法法则，可得$\lim\limits_{x\to 0}(x^{2}+x)=\lim\limits_{x\to 0}x^{2}+\lim\limits_{x\to 0}x$。
- 前面已求得$\lim\limits_{x\to 0}x^{2}=0$，$\lim\limits_{x\to 0}x = 0$。
- 所以$\lim\limits_{x\to 0}(x^{2}+x)=0 + 0 = 0$。
- 计算分子$x^{2}+2$在$x\to0$时的极限，根据极限的加法法则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x)+\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可得$\lim\limits_{x\to 0}(x^{2}+2)=\lim\limits_{x\to 0}x^{2}+\lim\limits_{x\to 0}2$。
- 当$x\to0$时，分子极限为$2\neq0$，分母极限为$0$，根据极限的性质，此时$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{2}+2}{x^{2}+x}=\infty$。